(EPCAr-2004) O comprimento da circunferência de um círculo de raio R_{1} é igual ao comprimento de um arco de 30^{\circ} da circunferência de um círculo de raio R_{2}. Se a área do primeiro é igual a 2, então a área do segundo é
a) 288
b) 144
c) 72

Passo 1

O enunciado envolve dois círculos. No primeiro, de raio R_{1}, a circunferência completa vale 2\pi R_{1}. No segundo, de raio R_{2}, consideramos apenas um arco de 30^\circ, cujo comprimento vale \tfrac{30}{360}\cdot2\pi R_{2}=\tfrac{\pi R_{2}}{6}. Sabemos que essas duas medidas são iguais e que a área do primeiro círculo é igual a 2. Vamos usar as fórmulas de comprimento de circunferência, comprimento de arco e área de círculo para encontrar a área do segundo.

Passo 2

Igualamos a circunferência do primeiro ao arco de 30^\circ do segundo:
2\pi R_{1} = \frac{\pi R_{2}}{6}.
Dividindo ambos os lados por \pi e multiplicando por 6, obtemos
12\,R_{1} = R_{2},
logo
R_{2} = 12\,R_{1}.

Passo 3

Usamos a área do primeiro círculo, dada por
\pi R_{1}^{2} = 2.
Daí
R_{1}^{2} = \frac{2}{\pi}.

Passo 4

Como R_{2}=12R_{1}, temos
R_{2}^{2} = 144\,R_{1}^{2} = 144\cdot\frac{2}{\pi} = \frac{288}{\pi}.
A área do segundo círculo é
\pi R_{2}^{2} = \pi\cdot\frac{288}{\pi} = 288.

Resposta

(a) 288

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