Escreva a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
y=x \ln x 2 em que x=1

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva
y = x \ln\bigl(x^2\bigr)
no ponto em que x=1.
Para isso, precisamos (a) calcular a derivada y' usando regra do produto e cadeia, (b) avaliar y e y' em x=1 para obter o ponto (x_0,y_0) e a inclinação m, e (c) usar a fórmula da reta tangente
y - y_0 = m\,(x - x_0).

Passo 2

Calcular a derivada y'. Escrevendo \ln(x^2)=2\ln x, temos
y = x\cdot 2\ln x = 2x\ln x.
Pela regra do produto,
y' = 2\bigl(\ln x + 1\bigr).

Passo 3

Avaliar y e y' em x=1:
y(1) = 2\cdot1\cdot\ln 1 = 0,
y'(1) = 2\bigl(\ln 1 + 1\bigr) = 2\cdot1 = 2.
Portanto o ponto é (1,0) e a inclinação da tangente é m=2.

Passo 4

Usar a fórmula da reta tangente em (x_0,y_0)=(1,0) com m=2:
y - 0 = 2\,(x - 1),
que simplifica para
y = 2x - 2.

Resposta

A equação da reta tangente é
y = 2x - 2.

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