Escreva a equação da reta tangente à curva dada no ponto especificado.
y=x^{3} e^{2-x} em que x=2

Passo 1

O enunciado nos dá a curva y=x^{3}e^{2-x} e pede a reta tangente no ponto em que x=2. Para isso, vamos calcular a derivada y' (usando regra do produto e cadeia) e depois usar a forma ponto-inclinação da reta tangente.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto e cadeia em y=x^3 e^{2-x}:
y' = (x^3)' e^{2-x} + x^3\,(e^{2-x})' = 3x^2 e^{2-x} + x^3\bigl(e^{2-x}\bigr)(-1).
Agrupando, obtemos
y' = e^{2-x}(3x^2 - x^3) = x^2 e^{2-x}(3 - x).

Passo 3

Avaliação em x=2:
y(2) = 2^3 e^{2-2} = 8, \quad y'(2) = 2^2 e^{2-2}(3-2) = 4.

Passo 4

A reta tangente no ponto (2,8) com coeficiente angular m=4 é dada por
y - 8 = 4\,(x - 2),
que simplifica para
y = 4x.

Resposta

y = 4x

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