Escreva a expressão da função g obtida a partir de f(x)=cos (x), efetuando-se um deslocamento vertical de -4 unidades e um deslocamento horizontal de -pi / 6, alterando-se o período para 3 pi e aumentando-se a amplitude para 3.

Passo 1

O enunciado parte da função de referência
f(x)=cos(x)
e pede uma nova função g que resulta de sucessivas transformações: aumento da amplitude, mudança do período, deslocamento horizontal e deslocamento vertical. Para resolver, vamos usar a forma geral
g(x)=Acosl(b,(x-h)r)+k
onde A é a amplitude, b controla o período, h é o deslocamento horizontal e k o deslocamento vertical.

Passo 2

Aumentar a amplitude de 1 para 3 significa multiplicar por 3. Assim obtemos
f1(x)=3cos(x)

Passo 3

Mudar o período de 2pi para 3pi exige achar b tal que
2pib=3pi Longrightarrow b=2pi3pi=23
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f2(x)=3cos!l(tfrac23xr)

Passo 4

O deslocamento horizontal de -pi/6 significa mover a curva para a esquerda em pi/6. Isso equivale a usar
h=-pi6 Longrightarrow x-h=x+tfracpi6
Substituindo em f2
f3(x)=3cos!l(tfrac23l(x+tfracpi6r)r)
Podemos distribuir o tfrac23:
tfrac23l(x+tfracpi6r) =tfrac23x+tfrac23cdottfracpi6 =tfrac23x+tfracpi9,
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f3(x)=3cos!l(tfrac23x+tfracpi9r)

Passo 5

Por fim, o deslocamento vertical de -4 unidades faz
g(x)=f3(x)-4 =3cos!l(tfrac23x+tfracpi9r)-4

Resposta

g(x)=3cos!l(tfrac23x+tfracpi9r)-4

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