Escreva o menor número de quatro algarismos diferentes divisível, ao mesmo tempo, por 5 e por 9.

Passo 1

O enunciado pede o menor número de quatro algarismos diferentes que seja divisível por 5 e por 9. Aqui vamos usar propriedades de divisibilidade (último dígito para 5 e soma dos dígitos para 9) e o conceito de mínimo múltiplo comum.

Passo 2

Um número é divisível por 5 se e somente se termina em 0 ou em 5. É divisível por 9 se e somente se a soma dos seus dígitos é múltipla de 9. Logo, para ser divisível simultaneamente por 5 e por 9, o número deve ser múltiplo de
lcm(5,9)=45

Passo 3

Buscamos o menor múltiplo de 45 que seja pelo menos 1000. Calculamos
lceil 100045rceil =lceil 22,22ldotsrceil =23,
então o primeiro múltiplo de 45 com quatro dígitos é
23times45=1035

Passo 4

Verificamos se 1035 tem quatro algarismos distintos. Os dígitos são 1, 0, 3 e 5 — todos diferentes. Portanto 1035 satisfaz todas as condições.

Resposta

1035

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