Escreva o maior número de quatro algarismos diferentes, divisível por 5 e por 9.
Passo 1
O enunciado pede o maior número de quatro algarismos distintos que seja divisível por 5 e por 9. Para isso precisamos usar duas regras de divisibilidade:
Um número é divisível por 5 se e somente se seu último dígito for ou .
Um número é divisível por 9 se e somente se a soma de seus dígitos for múltipla de .
Além disso, os quatro dígitos devem ser todos diferentes e queremos maximizar o valor numérico.
Passo 2
Primeiro consideramos o caso em que o último dígito é . Seja o número . A soma dos dígitos é
a + b + c + 5
e, para ser múltipla de 9, deve satisfazer
a + b + c + 5 equiv 0 pmod9 Longrightarrow a + b + c equiv 4 pmod9
Para maximizar abc5 tentamos a=9 e em seguida b tão grande quanto possível. Com a=9 e b=8 teríamos
9 + 8 + c equiv 4 pmod9 Longrightarrow 17 + c equiv 4 pmod9 Longrightarrow c equiv 5 pmod9,
mas c=5 conflita com o dígito final. Seguindo b=7 achamos
9 + 7 + c equiv 4 pmod9 Longrightarrow 16 + c equiv 4 pmod9 Longrightarrow c equiv 6 pmod9,
logo c=6 funciona, dando o número ,9765. Não há escolha de b ou c maior que mantenha distinctos e satisfaça a soma, então o máximo com final 5 é ,9765.
Passo 3
Agora consideramos o caso em que o último dígito é ,0. Seja o número abc0. A soma dos dígitos é
a + b + c + 0
e para divisibilidade por 9 exige
a + b + c equiv 0 pmod9
Para maximizar tenta-se a=9, b=8, ficando
9 + 8 + c equiv 0 pmod9 Longrightarrow 17 + c equiv 0 pmod9 Longrightarrow c equiv 1 pmod9,
logo c=1 (único dígito distinto de 9,8,0), resultando em ,9810.
Passo 4
Comparando os dois casos, o maior número com final 5 foi ,9765 e com final 0 foi ,9810. Como ,9810>9765, a solução ótima é ,9810.
Resposta
9810
Cálculo - João Barcelos Neto - Matemática para Físicos - Vol 2 - 1ª Edição - Capítulo 5.10. Exercícios Propostos - Ex. 24