Escreva n parcelas contendo o desenvolvimento de (k+1)^3 para k=1,2, 3, ldots, n-1, n. Some todas as parcelas, elimine os termos semelhantes e obtenha 1^2+2^2+3^2+ldots+n^2.

Passo 1

O enunciado pede para derivar a fórmula de
1^2+2^2+cdots+n^2
usando os desenvolvimentos de (k+1)^3 para k=1,2,dots,n. Vamos aplicar expansão binomial e soma telescópica.

Passo 2

Expandimos via o binômio de Newton:
(k+1)^3 ;=; k^3 ;+; 3k^2 ;+; 3k ;+; 1

Passo 3

Escrevemos as n parcelas e somamos ambos os lados para k=1 a n:
sumk=1^n (k+1)^3 = sumk=1^nl(k^3 + 3k^2 + 3k + 1r)

Passo 4

No lado esquerdo temos uma soma telescópica de cubos:
sumk=1^n(k+1)^3 = sumk=2^n+1k^3 = sumk=1^n+1k^3 - 1^3 = sumk=1^nk^3 + (n+1)^3 - 1
No lado direito separam-se as somas:
sumk=1^nk^3 ;+; 3sumk=1^nk^2 ;+; 3sumk=1^nk ;+; sumk=1^n1

Passo 5

Igualando as duas expressões e cancelando sumk=1^nk^3 de ambos os lados, obtemos
(n+1)^3 - 1 = 3sumk=1^nk^2 ;+; 3sumk=1^nk ;+; n

Passo 6

Isolamos sumk=1^nk^2:
sumk=1^nk^2 = (n+1)^3 - 1 ;-; 3sumk=1^nk ;-; n3

Passo 7

Usamos a fórmula conhecida
sumk=1^nk=n(n+1)2.
Substituindo em

Passo 8

sumk=1^nk^2 = n^3 + 3n^2 + 3n ;-; 3cdotn(n+1)2 ;-; n3 ;=; n^3+3n^2+3n ;-;3n(n+1)2;-;n3,
n^3+3n^2+3n - 3n(n+1)2 - n = 2n^3+6n^2+6n -3n^2-3n -2n2 = 2n^3+3n^2+n2 = n(n+1)(2n+1)2
Dividindo por 3:
sumk=1^nk^2 = n(n+1)(2n+1)6

Resposta

sumk=1^nk^2 = n(n+1)(2n+1)6

Exercícios de Livros Relacionados