Desenvolva, usando o teorema binomial:
Desenvolva, usando o teorema binomial
(m+1m)^5-(m-1m)^5

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver
(m+1m)^5-(m-1m)^5
usando o teorema binomial de Newton. Vamos lembrar que, para inteiros não negativos n,
(a+b)^n = sumk=0^nbinomnka^,n-kb^k
Aqui a=m, b=pm1m e n=5.

Passo 2

Aplicando o teorema binomial a l(m+tfrac1mr)^5 obtemos
l(m+tfrac1mr)^5 = sumk=0^5binom5km^5-kl(tfrac1mr)^k = m^5 + 5m^3 + 10m + 10,1m + 5,1m^3 + 1m^5

Passo 3

De modo análogo, para l(m-tfrac1mr)^5 cada termo de ordem k vem com fator (-1)^k. Assim
l(m-tfrac1mr)^5 = m^5 - 5m^3 + 10m - 10,1m + 5,1m^3 - 1m^5

Passo 4

Agora subtraímos as duas expansões termo a termo:
l(m+tfrac1mr)^5 - l(m-tfrac1mr)^5 = l(m^5 + 5m^3 + 10m + 10,m^-1 + 5,m^-3 + m^-5r) ;-;l(m^5 - 5m^3 + 10m - 10,m^-1 + 5,m^-3 - m^-5r)
Os termos pares em k (isto é, aqueles sem alternância de sinal) se cancelam e restam apenas os de k ímpar, dobrados.

Passo 5

Coletando os termos sobreviventes de k=1,3,5, obtemos
2l(5m^3 + 10,m^-1 + m^-5r) = 10m^3 + 20,m^-1 + 2,m^-5

Resposta

10,m^3 ;+;20m;+;2m^5

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