Escrever a equação da tangente à curva x^{5}+y^{5}-2 x y=0, no ponto ( 1 ; 1 ).

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva implícita
x^{5}+y^{5}-2xy=0
no ponto (1,1).
O conteúdo aqui é derivação implícita para encontrar \frac{dy}{dx} e depois usar a fórmula da reta tangente
y - y_0 = m\,(x - x_0),
onde m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(x_0,y_0)}.

Passo 2

Fazendo a derivada em relação a x na equação
x^{5}+y^{5}-2xy=0,
lembre que y é função de x. Temos
\frac{d}{dx}(x^{5}) + \frac{d}{dx}(y^{5}) - \frac{d}{dx}(2xy) = 0.
Isso dá
5x^{4} + 5y^{4}\,\frac{dy}{dx} \;-\;2\bigl(y + x\,\frac{dy}{dx}\bigr)=0.

Passo 3

Agrupando os termos com \frac{dy}{dx}, obtemos
5x^{4} -2y \;+\;(5y^{4}-2x)\,\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad (5y^{4}-2x)\,\frac{dy}{dx} = -5x^{4} +2y.
Logo
\frac{dy}{dx} = \frac{-5x^{4} +2y}{5y^{4}-2x} = -\,\frac{5x^{4}-2y}{5y^{4}-2x}.

Passo 4

Avaliaremos essa derivada no ponto (x,y)=(1,1):
5x^{4}-2y\Big|_{(1,1)} = 5\cdot1^{4}-2\cdot1 = 5-2 = 3,
5y^{4}-2x\Big|_{(1,1)} = 5\cdot1^{4}-2\cdot1 = 5-2 = 3.
Portanto
m = \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(1,1)} = -\,\frac{3}{3} = -1.

Passo 5

Usando a fórmula da reta tangente em (x_{0},y_{0})=(1,1) com coeficiente angular m=-1, temos
y - 1 = -1\,(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 2.

Resposta

A equação da tangente é
y = -x + 2.

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