Escrever a equação da tangente e da normal à curva: y=x^{3}+2 x^{2}-4 x-3 no ponto ( -2 ; 5 ).

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à curva y=x^{3}+2x^{2}-4x-3 no ponto (-2,5). O assunto envolve derivadas para obter o coeficiente angular da tangente e, em seguida, determinar a normal (reta perpendicular).

Passo 2

Calculamos a derivada da função para achar o coeficiente angular da tangente:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+2x^{2}-4x-3\bigr)=3x^{2}+4x-4.

Passo 3

Avaliaremos a derivada em x=-2:
f'(-2)=3\cdot(-2)^{2}+4\cdot(-2)-4=12-8-4=0.
Assim, a inclinação da reta tangente é m_{t}=0.

Passo 4

A equação da reta tangente no ponto (x_{0},y_{0}) é dada por
y-y_{0}=m_{t}(x-x_{0}).
Substituindo m_{t}=0 e (x_{0},y_{0})=(-2,5), temos
y-5=0\,(x+2),
que simplifica para y=5.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, logo seu coeficiente angular é
m_{n}=-\frac{1}{m_{t}}.
Como m_{t}=0, isso indica que a normal é vertical e sua equação é
x=-2.

Resposta

Reta tangente: y=5
Reta normal: x=-2

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