Uma esfera está inscrita em um cone de altura h e raio da base r. Obtenha a distância do vértice do cone ao plano que secciona esse cone e a esfera determinando duas seções cuja soma das áreas é 13 pi r^236, sendo esse plano paralelo à base do cone.

Passo 1

Resumindo: temos um cone reto de altura h e raio da base r, com uma esfera inscrita que tangencia a base e a geratriz do cone. Queremos um plano paralelo à base, a uma distância x do vértice do cone, que interseccione o cone num círculo de raio rhoc e a esfera num círculo de raio rhos, de modo que
pi,rhoc^2 ;+;pi,rhos^2 ;=;13pi r^236
O conteúdo é geometria de seções de cone e esfera; vamos precisar de:
  1. Fórmula da reta geratriz para achar o raio da seção do cone versus x.
  2. Raio R e posição do centro da esfera inscrita no cone.
  3. Equação da seção da esfera por um plano a uma altura x.
  4. Montar a soma das áreas e resolver a equação em x.

Passo 2

Raio da seção do cone a uma distância x do vértice: por semelhança de triângulos,
rhoc ;=;rh,x
Para a esfera inscrita sabemos que ela tangencia a base e a geratriz. Se denotarmos por L=raizh^2+r^2, então
R ;=;h,rr + L, e o centro da esfera está a uma a<ura z0 ;=;h - R ;=;h,Lr + L á
medidos a partir do vértice.

Passo 3

A seção da esfera por um plano situado em z=x é um círculo de raio
rhos ;=;raiz,R^2 - (x - z0)^2,,
desde que x esteja entre z0 - R e z0 + R.

Passo 4

A soma das áreas das duas seções é
pi,rhoc^2 ;+;pi,rhos^2 ;=;pi!l[!(r^2/h^2),x^2 + R^2 - (x - z0)^2r] ;=;13pi r^236
Dividindo por pi e rearranjando, obtemos a equação quadrática em x:
l(tfracr^2h^2-1r)x^2 ;+;2,z0,x ;+;l(R^2 - z0^2 - tfrac13,r^236r) ;=;0

Passo 5

Substituindo
;R=tfrach,rr+L,
;z0=tfrach,Lr+L
e L=raizh^2+r^2, a solução dessa quadrática pelo método de Bhaskara dá as duas possíveis alturas x.

Resposta

Seja L=raizh^2+r^2. As soluções para x são
x ;=; -2,z0 ;pm;raiz(2,z0)^2 ;-;4,l(tfracr^2h^2-1r),l(R^2 - z0^2 - tfrac13,r^236r) 2,l(tfracr^2h^2-1r),
com
R=h,rr+L, z0=h,Lr+L, L=raizh^2+r^2
Essas duas raízes são exatamente as distâncias do vértice do cone ao plano que satisfaz a condição pirhoc^2+pirhos^2=13pi r^2/36.

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