Uma esfera está inscrita em um cone de altura
e raio da base
. Obtenha a distância do vértice do cone ao plano que secciona esse cone e a esfera determinando duas seções cuja soma das áreas é
, sendo esse plano paralelo à base do cone.
Passo 1
Resumindo: temos um cone reto de altura
e raio da base
, com uma esfera inscrita que tangencia a base e a geratriz do cone. Queremos um plano paralelo à base, a uma distância
do vértice do cone, que interseccione o cone num círculo de raio
e a esfera num círculo de raio
, de modo que
O conteúdo é geometria de seções de cone e esfera; vamos precisar de:
- Fórmula da reta geratriz para achar o raio da seção do cone versus
. - Raio
e posição do centro da esfera inscrita no cone. - Equação da seção da esfera por um plano a uma altura
. - Montar a soma das áreas e resolver a equação em
.
Passo 2
Raio da seção do cone a uma distância
do vértice: por semelhança de triângulos,
Para a esfera inscrita sabemos que ela tangencia a base e a geratriz. Se denotarmos por
, então
medidos a partir do vértice.
Passo 3
A seção da esfera por um plano situado em
é um círculo de raio
desde que
esteja entre
e
.
Passo 4
A soma das áreas das duas seções é
Dividindo por
e rearranjando, obtemos a equação quadrática em
:
Passo 5
Substituindo
,
e , a solução dessa quadrática pelo método de Bhaskara dá as duas possíveis alturas
.
e
Resposta
Seja
. As soluções para
são
com
Essas duas raízes são exatamente as distâncias do vértice do cone ao plano que satisfaz a condição
.