Em uma esfera de raio r, inscrevemos um cilindro de modo que o raio da esfera seja igual ao diâmetro do cilindro. Calcule a área lateral, a área total e o volume do cilindro em função de r.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio r e pede para inscrever nela um cilindro cujo diâmetro é igual ao raio da esfera. O conteúdo envolve geometria espacial de sólidos inscritos e vamos usar o Teorema de Pitágoras no triângulo formado pelo raio da esfera, pelo raio do cilindro e pela metade da altura do cilindro.

Passo 2

Como o diâmetro do cilindro é igual ao raio da esfera, o raio do cilindro, que chamaremos de a, vale
a = r2

Passo 3

Para encontrar a altura h do cilindro, considere o triângulo retângulo em que a hipotenusa é o raio da esfera r, um cateto é a e o outro é h/2. Pelo Teorema de Pitágoras,
l(h2r)^2 + a^2 = r^2
l(h2r)^2 = r^2 - l(r2r)^2 = r^2 - r^24 = 3r^24
h = 2raiz3r^24 = rraiz3

Passo 4

A área lateral do cilindro é dada por
Alat = 2pi,a,h
Substituindo a = tfracr2 e h = rraiz3, obtemos
Alat = 2pi cdot r2 cdot l(rraiz3r) = pi r^2raiz3

Passo 5

A área total do cilindro é
Atot = Alat + 2pi,a^2
Como a^2 = l(tfracr2r)^2 = tfracr^24, temos
Atot = pi r^2raiz3 + 2picdotr^24 = pi r^2gl(raiz3 + 12gr)

Passo 6

O volume do cilindro é dado por
V = pi,a^2,h
Substituindo a^2 = tfracr^24 e h = rraiz3, resulta
V = pi cdot r^24 cdot l(rraiz3r) = pi r^3raiz34

Resposta

Área lateral: pi r^2raiz3
Área total: pi r^2l(raiz3 + tfrac12r)
Volume: pi r^3raiz34

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