Determine a altura de um cilindro inscrito em uma esfera de raio r, sendo 2 pi a^2 a área total do cilindro.

Passo 1

O enunciado pede a altura de um cilindro de raio R e altura h inscrito numa esfera de raio r, sabendo que a área total do cilindro vale 2pi a^2. Vamos usar duas ideias de geometria:
  1. fórmula da área total de um cilindro (lateral mais duas bases).
  2. condição de cilindro inscrito em esfera (triângulo retângulo entre R, h/2 e r).

Passo 2

A área total do cilindro é a soma da área lateral 2pi R,h com a área das duas bases 2pi R^2. Como isso vale 2pi a^2, temos
2pi R,h ;+;2pi R^2 ;=;2pi a^2
Dividindo ambos os lados por 2pi resulta
R,h + R^2 = a^2

Passo 3

Para o cilindro estar inscrito na esfera, o ponto médio de uma base, o centro da esfera e um ponto da circunferência da base formam um triângulo retângulo de catetos R e h/2 e hipotenusa r. Logo,
l(tfrach2r)^2 + R^2 = r^2

Passo 4

Da equação do passo 2 isolamos
h = a^2 - R^2R
e substituímos em l(tfrach2r)^2 + R^2 = r^2. Isso gera
(a^2 - R^2)^24R^2 + R^2 = r^2,
multiplicando por 4R^2 e reorganizando, obtemos um polinômio em R^2:
5R^4 ;-;(2a^2+4r^2),R^2 + a^4 = 0

Passo 5

Chamando x=R^2 e aplicando Bhaskara,
x = 2a^2+4r^2 pm raiz(2a^2+4r^2)^2 -20a^410 = a^2 +2r^2 pm 2raizr^4 + a^2r^2 - a^45
Para ter R^2<= a^2 e R^2<= r^2 escolhemos o sinal “ -”, ou seja,
R^2 = a^2 +2r^2 -2raizr^4 + a^2r^2 - a^45
Por fim, voltando em h = (a^2 - R^2)/R, chega-se a
h = a^2 - a^2 +2r^2 -2raizr^4 + a^2r^2 - a^45 raiz a^2 +2r^2 -2raizr^4 + a^2r^2 - a^45

Resposta

h = a^2 - a^2 +2r^2 -2raizr^4 + a^2r^2 - a^45 raiz a^2 +2r^2 -2raizr^4 + a^2r^2 - a^45

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