Determine a altura de um cilindro inscrito em uma esfera de raio
, sendo
a área total do cilindro.
Passo 1
O enunciado pede a altura de um cilindro de raio
e altura
inscrito numa esfera de raio
, sabendo que a área total do cilindro vale
. Vamos usar duas ideias de geometria:
- fórmula da área total de um cilindro (lateral mais duas bases).
- condição de cilindro inscrito em esfera (triângulo retângulo entre
, e ).
Passo 2
A área total do cilindro é a soma da área lateral
com a área das duas bases
. Como isso vale
, temos
Dividindo ambos os lados por
resulta
Passo 3
Para o cilindro estar inscrito na esfera, o ponto médio de uma base, o centro da esfera e um ponto da circunferência da base formam um triângulo retângulo de catetos
e
e hipotenusa
. Logo,
Passo 4
Da equação do passo 2 isolamos
e substituímos em
. Isso gera
multiplicando por
e reorganizando, obtemos um polinômio em
:
Passo 5
Chamando
e aplicando Bhaskara,
Para ter
e
escolhemos o sinal “
”, ou seja,
Por fim, voltando em
, chega-se a