Uma esfera de 18 m de raio é seccionada por planos perpendiculares a um diâmetro, dividindo-o em partes proporcionais a 2,3 e 4 . Calcule as áreas totais e os volumes dos sólidos determinados.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de raio
,m e diz que ela é cortada por dois planos perpendiculares a um diâmetro, de modo que esse diâmetro de comprimento
,m fica dividido em partes proporcionais a
. Precisamos calcular, para cada um dos três sólidos obtidos,
– o volume,
– a área total (área esférica externa mais áreas dos cortes planos).
– o volume,
– a área total (área esférica externa mais áreas dos cortes planos).
Passo 2
Da proporção
com soma
e diâmetro
,m, cada parte tem comprimento
Ou seja, o primeiro sólido ocupa um “cap” de espessura
,m, o segundo uma zona de espessura
,m e o terceiro outro “cap” de espessura
,m ao longo do mesmo eixo.
Passo 3
Colocamos o centro da esfera na origem
. Então os planos ficam em
Assim:
– Sólido é o “cap” de
.
– Sólido é a zona de
.
– Sólido é o “cap” de
.
– Sólido
– Sólido
– Sólido
Passo 4
Para cada parte usamos
cuja antiderivada é
.
– : de
a
dá
–
–
: de
a
dá
–
: resto da esfera
Passo 5
A área esférica lateral de cada “tira” de altura
é
Logo
Passo 6
As áreas dos cortes planos são círculos de raio
– Para o sólido
há um corte em
:
– Para o sólido há dois cortes em
e
:
– Para o sólido
– Para o sólido
há um corte em
:
Passo 7
Somando área esférica lateral e cortes planos, obtemos as áreas totais:
Resposta
Sólido
(cap de espessura
m):
Sólido
(zona de espessura
m):
Sólido
(cap de espessura
m):