Uma esfera de 18 m de raio é seccionada por planos perpendiculares a um diâmetro, dividindo-o em partes proporcionais a 2,3 e 4 . Calcule as áreas totais e os volumes dos sólidos determinados.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de raio R=18,m e diz que ela é cortada por dois planos perpendiculares a um diâmetro, de modo que esse diâmetro de comprimento 2R=36,m fica dividido em partes proporcionais a 2:3:4. Precisamos calcular, para cada um dos três sólidos obtidos,
– o volume,
– a área total (área esférica externa mais áreas dos cortes planos).

Passo 2

Da proporção 2:3:4 com soma 2+3+4=9 e diâmetro 36,m, cada parte tem comprimento
ell1 = 29cdot36 = 8, ell2 = 39cdot36 = 12, ell3 = 49cdot36 = 16
Ou seja, o primeiro sólido ocupa um “cap” de espessura 8,m, o segundo uma zona de espessura 12,m e o terceiro outro “cap” de espessura 16,m ao longo do mesmo eixo.

Passo 3

Colocamos o centro da esfera na origem z=0. Então os planos ficam em
z1 = -R + ell1 = -18 + 8 = -10, z2 = +R - ell3 = 18 -16 = 2
Assim:
– Sólido 1 é o “cap” de -18<= z<= -10.
– Sólido 2 é a zona de -10<= z<= 2.
– Sólido 3 é o “cap” de 2<= z<= 18.

Passo 4

Para cada parte usamos
V = integralza^zb pil(R^2 - z^2r),dz
cuja antiderivada é pil(R^2 z - z^3/3r).
V1: de -18 a -10
V1 = pil[l(324,z - tfracz^33r)r]-18^-10 = 29443,pi m^3
V3: de 2 a 18
V3 = pil[l(324,z - tfracz^33r)r]2^18 = 97283,pi m^3
V2: resto da esfera
V2 = 43pi R^3 - V1 - V3 = 233283pi - 29443pi - 97283pi = 106563,pi m^3

Passo 5

A área esférica lateral de cada “tira” de altura h é
Arm sph = 2pi R,h
Logo
Arm sph,1 = 2picdot18cdot8 = 288pi, Arm sph,2 = 2picdot18cdot12 = 432pi, Arm sph,3 = 2picdot18cdot16 = 576pi

Passo 6

As áreas dos cortes planos são círculos de raio
r1 = raizR^2 - z1^2 = raiz324 - 100 = 4raiz14, r2 = raiz324 - 4 = 8raiz5
– Para o sólido 1 há um corte em z=-10: Arm pl1= pi r1^2=224pi
– Para o sólido 2 há dois cortes em z=-10 e z=2:
Arm pl2= pi r1^2 + pi r2^2 = 224pi + 320pi = 544pi
– Para o sólido 3 há um corte em z=2: Arm pl3= pi r2^2 =320pi

Passo 7

Somando área esférica lateral e cortes planos, obtemos as áreas totais:
A1 = 288pi + 224pi = 512pi, A2 = 432pi + 544pi = 976pi, A3 = 576pi + 320pi = 896pi(m^2)

Resposta

Sólido 1 (cap de espessura 8 m):
V1=tfrac29443pi m^3, A1=512pi m^2
Sólido 2 (zona de espessura 12 m):
V2=tfrac106563pi m^3, A2=976pi m^2
Sólido 3 (cap de espessura 16 m):
V3=tfrac97283pi m^3, A3=896pi m^2

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