Determine o volume de um segmento esférico de uma base, sendo de 16 pi m^2 a área da base e 2 m a altura do segmento.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um segmento esférico de altura h=2 m e área da base (círculo) A=16pi m^2. Vamos usar duas fórmulas da geometria de esferas: a relação entre o raio da base a, o raio da esfera R e a altura h,
a^2 = 2Rh - h^2,
e a expressão do volume de um segmento esférico de altura h,
V = pi h^23,(3R - h)

Passo 2

Da área da base ,A = pi a^2 = 16pi, obtemos
a^2 = 16,
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a = 4 m

Passo 3

Substituindo a^2=16 e h=2 em a^2 = 2Rh - h^2, temos
16 = 2Rcdot 2 - 2^2 = 4R - 4 Longrightarrow 4R = 20 Longrightarrow R = 5 m

Passo 4

Na fórmula do volume
V = pi h^23,(3R - h),
substituímos h=2 e R=5:
V = pi cdot 2^23,(15 - 2) = 4pi3times 13 = 52pi3 m^3

Resposta

52pi3 m^3

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