Uma zona esférica e um fuso de uma mesma esfera têm áreas iguais. A altura da zona é
do raio. Calcule o arco equatorial do fuso.
Passo 1
O enunciado diz que uma zona esférica de altura
e um fuso esférico têm áreas iguais. Queremos achar o comprimento do arco no equador que delimita esse fuso. Para isso vamos usar as fórmulas de área da zona esférica e de área do fuso (lune) em função do ângulo central.
Passo 2
A área da zona esférica de raio
e altura
é dada por
Aqui temos
, mas deixamos
genérico por enquanto.
Passo 3
A área de um fuso esférico (lune) de raio
cujo ângulo central, medido no centro da esfera, é
(em radianos) vale
Passo 4
Como as áreas são iguais, impomos
Cancelando
em ambos os lados vem
Como
, temos
Passo 5
O arco equatorial do fuso é o comprimento de círculo de raio
subtendido por
, ou seja