Uma zona esférica e um fuso de uma mesma esfera têm áreas iguais. A altura da zona é 1n do raio. Calcule o arco equatorial do fuso.

Passo 1

O enunciado diz que uma zona esférica de altura tfracRn e um fuso esférico têm áreas iguais. Queremos achar o comprimento do arco no equador que delimita esse fuso. Para isso vamos usar as fórmulas de área da zona esférica e de área do fuso (lune) em função do ângulo central.

Passo 2

A área da zona esférica de raio R e altura h é dada por
Azona = 2pi R,h
Aqui temos h = tfracRn, mas deixamos h genérico por enquanto.

Passo 3

A área de um fuso esférico (lune) de raio R cujo ângulo central, medido no centro da esfera, é alpha (em radianos) vale
Afuso = 2R^2,alpha

Passo 4

Como as áreas são iguais, impomos
2pi R,h ;=; 2R^2,alpha
Cancelando 2R em ambos os lados vem
pi,h = R,alpha Longrightarrow alpha = pi,hR
Como h = tfracRn, temos
alpha = pin

Passo 5

O arco equatorial do fuso é o comprimento de círculo de raio R subtendido por alpha, ou seja
s = R,alpha = R;pin = pi Rn

Resposta

pi Rn

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