ESGOTAMENTO DE RECURSOS NATURAIS O petróleo está sendo retirado de um campo petrolífero, t anos após sua abertura, a uma taxa P^{\prime}(t)=1,3 e^{0,04 t} bilhões de barris por ano. O campo tem uma reserva de 20 bilhões de barris, e o preço do petróleo se mantém constante em 112 dólares o barril.
a. Determine P(t), a quantidade de petróleo retirada do campo até o instante t. Qual foi a quantidade de petróleo retirada do campo durante os primeiros três anos de operação? E durante os três anos seguintes?
b. Qual será o número total T de anos de funcionamento do campo até que se esgote por completo?
c. Se os juros permanecerem constantes em 5 \% ao ano, capitalizados continuamente, qual é o valor atual do fluxo de receita contínuo V=112 P^{\prime}(t) durante o tempo total de operação do campo, 0 \leq t \leq T ?
d. Se o proprietário do campo decide vendê-lo no primeiro dia de operação, você acha que o valor atual determinado no item (c) é um preço justo? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a taxa de extração de petróleo em bilhões de barris por ano
P'(t)=1,3\,e^{0,04t}
para t anos após a abertura do campo, cujo total de reservas é 20 bilhões de barris. O preço é constante em \$112 por barril. Precisamos de:
a) a função acumulada P(t) e as quantidades extraídas em [0,3] e [3,6];
b) o tempo T em que P(T)=20;
c) o valor presente do fluxo contínuo de receita V(t)=112\,P'(t) descontado a 5\% contínuos;
d) discutir se esse valor presente é um preço justo.

Passo 2

Integramos P'(t) para achar P(t) com condição P(0)=0:
P(t)=\int_0^t1,3\,e^{0,04s}\,ds = \frac{1,3}{0,04}\bigl(e^{0,04t}-1\bigr) =32,5\bigl(e^{0,04t}-1\bigr).

Passo 3

Quantidade extraída nos primeiros três anos é
P(3)=32,5\bigl(e^{0,12}-1\bigr).
Nos anos seguintes de 3 a 6 é
P(6)-P(3) =32,5\bigl(e^{0,24}-1\bigr) -32,5\bigl(e^{0,12}-1\bigr) =32,5\bigl(e^{0,24}-e^{0,12}\bigr).

Passo 4

O campo esgota quando P(T)=20, isto é
32,5\bigl(e^{0,04T}-1\bigr)=20 \quad\Longrightarrow\quad e^{0,04T}=1+\frac{20}{32,5}=1+\frac{0,8}{1,3}
T=\frac{1}{0,04}\ln\!\Bigl(1+\tfrac{0,8}{1,3}\Bigr)\approx12,0\text{ anos}.

Passo 5

O valor presente do fluxo contínuo de receita é
\int_{0}^{T}112\,P'(t)\,e^{-0,05t}\,dt =112\cdot1,3\int_{0}^{T}e^{-0,01t}\,dt =145,6\cdot\frac{1}{0,01}\bigl(1-e^{-0,01T}\bigr)
V_{\text{PV}}=14\,560\bigl(1-e^{-0,01T}\bigr) \quad\text{(bilhões de dólares).}õó

Passo 6

Esse valor presente é o preço justo sob as hipóteses de fluxo certo, sem riscos extras e sem custos operacionais. Se quisermos incorporar risco ou custo, haveria desconto adicional, mas em tese financeira pura ele representa o valor justo de venda no instante zero.

Resposta

a) \displaystyle P(t)=32,5\bigl(e^{0,04t}-1\bigr).
Nos primeiros 3 anos: \displaystyle P(3)=32,5\bigl(e^{0,12}-1\bigr).
Do ano 3 ao 6: \displaystyle 32,5\bigl(e^{0,24}-e^{0,12}\bigr).
b) \displaystyle T=\frac{1}{0,04}\ln\!\Bigl(1+\tfrac{0,8}{1,3}\Bigr)\approx12,0.
c) \displaystyle V_{\text{PV}}=14\,560\bigl(1-e^{-0,01T}\bigr) bilhões de dólares.
d) Sim: sob juros contínuos de 5\% e sem risco ou custo adicional, esse valor presente é o preço justo de venda no dia 1.

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