(Eslovênia-2001) Determine todos os números primos da forma 1010101…101.
Passo 1
O enunciado nos pede todos os números primos cuja representação decimal é
“ ,
,···,
” (começa e termina com
e intercala zeros e uns). Para tratar isso vamos modelar esse número como soma de potências de
(progressão geométrica), depois usar propriedades de repunit para fatorá-lo e concluir sobre sua primalidade.
“
Passo 2
Seja
o número de zeros entre os
(por exemplo, para “
” temos
, para “
”
, etc.). Então esse número é
uma soma de razão
. Usando a fórmula da soma de uma PG,
Passo 3
Definimos o repunit de comprimento
como
Então
e
Passo 4
Usamos agora a fatoração conhecida
Tomando
, obtemos
Passo 5
Analisamos para quais
isso pode ser primo:
- Se
, então , não é primo. - Se
, então que de fato é primo. - Para
temos , logo e . Além disso, um dos dois fatores ( se for par, ou se for ímpar) contém o único fator que dividimos; ao cancelar esse resta o produto de dois inteiros maiores que . Logo é composto para todo .
Portanto o único caso primo é
, ou seja, o único número da forma dada que é primo é
.
Resposta
O único número primo da forma “
···
” é
.