(Eslovênia-2001) Determine todos os números primos da forma 1010101…101.

Passo 1

O enunciado nos pede todos os números primos cuja representação decimal é
1,0, 1,0,···, 1” (começa e termina com 1 e intercala zeros e uns). Para tratar isso vamos modelar esse número como soma de potências de 10 (progressão geométrica), depois usar propriedades de repunit para fatorá-lo e concluir sobre sua primalidade.

Passo 2

Seja k>=0 o número de zeros entre os 1 (por exemplo, para “ 101” temos k=1, para “ 10101 k=2, etc.). Então esse número é
Nk ;=;sumi=0^k10^2i ;=;1 + 10^2 + 10^4 + cdots + 10^2k
uma soma de razão 10^2. Usando a fórmula da soma de uma PG,
Nk ;=;10^2(k+1) - 110^2 - 1 ;=;10^2(k+1) - 199

Passo 3

Definimos o repunit de comprimento n como
Rn ;=;10^n - 19
Então 10^2(k+1)-1 = 9,R2(k+1) e
Nk ;=;10^2(k+1) - 199 ;=;9,R2(k+1)9cdot11 ;=;R2(k+1)11

Passo 4

Usamos agora a fatoração conhecida
R2n ;=;Rn,l(10^n + 1r)
Tomando n=k+1, obtemos
Nk ;=;R2(k+1)11 ;=;Rk+1,l(10^,k+1+1r)11

Passo 5

Analisamos para quais k isso pode ser primo:
  • Se k=0, então N0=1, não é primo.
  • Se k=1, então N1 ;=;sumi=0^1 10^2i ;=;1 + 100 ;=;101, que de fato é primo.
  • Para k>=2 temos k+1>=3, logo Rk+1>1 e 10^k+1+1>1. Além disso, um dos dois fatores ( Rk+1 se k+1 for par, ou 10^k+1+1 se k+1 for ímpar) contém o único fator 11 que dividimos; ao cancelar esse 11 resta o produto de dois inteiros maiores que 1. Logo Nk é composto para todo k>=2.
Portanto o único caso primo é k=1, ou seja, o único número da forma dada que é primo é 101.

Resposta

O único número primo da forma “ 1010··· 1” é 101.

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