(OBM-84 banco) Mostre que nenhum número inteiro da forma 1+4^n é divisível por 3 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro n>=0, o número
1 + 4^n
não é divisível por 3. Para isso vamos usar aritmética modular, em particular congruências módulo 3 e a propriedade de que, se aequiv bpmod m, então a^nequiv b^npmod m.

Passo 2

Observe que
4 = 3 + 1,
logo, ao dividirmos 4 por 3, o resto é 1. Em linguagem de congruências:
4 equiv 1 pmod3

Passo 3

Pela propriedade de que potências respeitam congruência, temos
4^n equiv 1^n pmod3
Como 1^n=1, segue
4^n equiv 1 pmod3

Passo 4

Agora basta Somar 1 de ambos os lados da congruência:
1 + 4^n equiv 1 + 1 equiv 2 pmod3
Como 2notequiv0pmod3, concluímos que 1+4^n deixa resto 2 na divisão por 3, ou seja, não é divisível por 3.

Resposta

Para todo inteiro n>=0, 1+4^nequiv2pmod3, logo nunca é divisível por 3.

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