(OBM-84 banco) Mostre que nenhum número inteiro da forma
é divisível por 3 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para qualquer inteiro
, o número
não é divisível por 3. Para isso vamos usar aritmética modular, em particular congruências módulo 3 e a propriedade de que, se
, então
.
Passo 2
Observe que
logo, ao dividirmos 4 por 3, o resto é 1. Em linguagem de congruências:
Passo 3
Pela propriedade de que potências respeitam congruência, temos
Como
, segue
Passo 4
Agora basta Somar 1 de ambos os lados da congruência:
Como
, concluímos que
deixa resto 2 na divisão por 3, ou seja, não é divisível por 3.
Resposta
Para todo inteiro
,
, logo nunca é divisível por 3.