Qual é o último dígito do número:
, onde existem 1000 potências de 7? Quais são os dois últimos dígitos?
Passo 1
O enunciado dá a expressão left-associativa com 1000 números 7:
. Para encontrar o último dígito e os dois últimos dígitos, vamos primeiro reescrever essa torre como uma potência simples de base 7 e depois usar aritmética modular.
Passo 2
Usando a regra
, vemos que depois de
potências chegamos em
Como há 1000 setes e a primeira potência
já consome dois setes, o número de multiplicações de expoente é
. Logo a expressão vale
Passo 3
Para o último dígito calculamos
Pelo Teorema de Euler,
, então
Como
, tem-se
Portanto
ou seja, o último dígito é 3.
Passo 4
Para os dois últimos dígitos precisamos de
Notamos que
, ou seja, o período de
módulo 100 é 4. Logo
Já vimos que
, então
Resposta
Último dígito: 3
Dois últimos dígitos: 43
Dois últimos dígitos: 43