Qual é o último dígito do número: (ldots(((7^7)^7)^7) ldots ^7), onde existem 1000 potências de 7? Quais são os dois últimos dígitos?

Passo 1

O enunciado dá a expressão left-associativa com 1000 números 7:
l(dots((7^7)^7)^7dotsr). Para encontrar o último dígito e os dois últimos dígitos, vamos primeiro reescrever essa torre como uma potência simples de base 7 e depois usar aritmética modular.

Passo 2

Usando a regra l(a^br)^c = a^b,c, vemos que depois de k potências chegamos em
7^7^k
Como há 1000 setes e a primeira potência 7^7 já consome dois setes, o número de multiplicações de expoente é 999. Logo a expressão vale
7^E, E = 7^999

Passo 3

Para o último dígito calculamos
7^Ebmod 10
Pelo Teorema de Euler, varphi(10)=4, então
7^Eequiv 7^,Ebmod 4pmod10
Como 7equiv3pmod4, tem-se
E = 7^999equiv 3^999equiv 3pmod4
Portanto
7^Eequiv 7^3equiv 343equiv 3pmod10,
ou seja, o último dígito é 3.

Passo 4

Para os dois últimos dígitos precisamos de
7^Ebmod 100
Notamos que 7^4=2401equiv1pmod100, ou seja, o período de 7 módulo 100 é 4. Logo
7^Eequiv 7^,Ebmod4pmod100
Já vimos que Ebmod4=3, então
7^Eequiv 7^3equiv 343equiv 43pmod100

Resposta

Último dígito: 3
Dois últimos dígitos: 43

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