(Bay Area-99) Prove que
é divisível por 10 .
Passo 1
O enunciado pede para provar que o número
é divisível por 10. Para isso, vamos usar aritmética modular, mostrando que
é simultaneamente divisível por 2 e por 5.
Passo 2
Verificamos a paridade (módulo 2) de cada termo de
. Note que:
Somando os restos, obtemos
Logo,
é par, ou seja, divisível por 2.
Passo 3
Agora analisamos
módulo 5. Reduzimos cada base módulo 5:
Logo
Para
, o ciclo de
é de período 4, e
, então
Para
, o ciclo de
é de período 2, e
, então
Assim,
Portanto,
é divisível por 5.
Passo 4
Como
é simultaneamente divisível por 2 e por 5, concluímos que
é divisível por 10.