(Bay Area-99) Prove que 1993^1993+1994^1994 +1995^1995+1996^1996 é divisível por 10 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que o número
S = 1993^1993 + 1994^1994 + 1995^1995 + 1996^1996
é divisível por 10. Para isso, vamos usar aritmética modular, mostrando que S é simultaneamente divisível por 2 e por 5.

Passo 2

Verificamos a paridade (módulo 2) de cada termo de S. Note que:
1993^1993equiv1^1993equiv1pmod2,
1994^1994equiv0^1994equiv0pmod2,
1995^1995equiv1^1995equiv1pmod2,
1996^1996equiv0^1996equiv0pmod2
Somando os restos, obtemos
1 + 0 + 1 + 0 = 2 equiv 0pmod2
Logo, S é par, ou seja, divisível por 2.

Passo 3

Agora analisamos S módulo 5. Reduzimos cada base módulo 5:
1993equiv3, 1994equiv4, 1995equiv0, 1996equiv1 pmod5
Logo
1993^1993equiv 3^1993, 1994^1994equiv4^1994, 1995^1995equiv0^1995=0, 1996^1996equiv1^1996=1 pmod5
Para 3^1993pmod5, o ciclo de 3^n é de período 4, e 1993equiv1pmod4, então
3^1993equiv3^1equiv3pmod5
Para 4^1994pmod5, o ciclo de 4^n é de período 2, e 1994equiv0pmod2, então
4^1994equiv4^0equiv1pmod5
Assim,
Sequiv3 + 1 + 0 + 1 = 5 equiv0pmod5
Portanto, S é divisível por 5.

Passo 4

Como S é simultaneamente divisível por 2 e por 5, concluímos que S é divisível por 10.

Resposta

S = 1993^1993 + 1994^1994 + 1995^1995 + 1996^1996 é divisível por 10.

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