(Manhattan-97) Pode a soma dos dígitos de um número quadrado perfeito ser igual a 1970?

Passo 1

O enunciado pergunta se existe algum quadrado perfeito cuja soma dos dígitos seja 1970. O conteúdo envolvido é a congruência módulo 9 aplicada à soma dos dígitos e aos resíduos quadráticos.

Passo 2

Lembramos que a soma dos dígitos de um número N é congruente a N módulo 9. Formalmente, se S(N) é a soma dos dígitos de N, então
S(N)equiv Npmod9

Passo 3

Agora, analisamos os possíveis resíduos de quadrados perfeitos módulo 9. Para k=0,1,dots,8 temos
k^2pmod9in0^2,1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,7^2,8^2equiv0,1,4,0,7,7,0,4,1
Logo, os resíduos quadráticos módulo 9 são exatamente 0,1,4,7.

Passo 4

Calculamos 1970 módulo 9. Como 9times218=1962, segue que
1970equiv1970-1962=8pmod9

Passo 5

O resíduo 8 não pertence ao conjunto 0,1,4,7. Logo, não há quadrado perfeito N tal que S(N)=1970, pois isso exigiria Nequiv8pmod9, o que é impossível para quadrados.

Resposta

Não.

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