(Manhattan-97) Pode a soma dos dígitos de um número quadrado perfeito ser igual a 1970?
Passo 1
O enunciado pergunta se existe algum quadrado perfeito cuja soma dos dígitos seja
. O conteúdo envolvido é a congruência módulo 9 aplicada à soma dos dígitos e aos resíduos quadráticos.
Passo 2
Lembramos que a soma dos dígitos de um número
é congruente a
módulo 9. Formalmente, se
é a soma dos dígitos de
, então
Passo 3
Agora, analisamos os possíveis resíduos de quadrados perfeitos módulo 9. Para
temos
Logo, os resíduos quadráticos módulo 9 são exatamente
.
Passo 4
Calculamos
módulo 9. Como
, segue que
Passo 5
O resíduo
não pertence ao conjunto
. Logo, não há quadrado perfeito
tal que
, pois isso exigiria
, o que é impossível para quadrados.
Resposta
Não.