Quantas diagonais tem um polígono regular de lados?
Solução
O polígono tem vértices: . Cada segmento é determinado por um par não ordenado de dois vértices , por exemplo ).
O número total de segmentos determinados será então binomn2. Entre esses segmentos estão incluídos os lados e as diagonais. Como existem n lados, o número de diagonais será:
O enunciado pede para determinar quantas diagonais tem um polígono regular de n lados. O conteúdo aplicável é contagem de pares de vértices (combinatória) e subtração dos lados, pois cada diagonal liga dois vértices não adjacentes.
Passo 2
Um polígono de n lados tem n vértices e cada segmento entre dois vértices corresponde a um par não ordenado desses vértices. O número total de pares é
binomn2,
Passo 3
Desses binomn2 segmentos, exatamente n são os lados do polígono. Portanto, as diagonais são os segmentos restantes:
binomn2 ;-; n,
Passo 4
Basta simplificar a expressão:
binomn2 - n = n(n-1)2 - n = n(n-1)-2n2 = n^2-3n2 = n(n-3)2,
Resposta
n(n-3)2
Cálculo - Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 5: Combinatória e Probabilidade - 8ª Edição - Capítulo 1.Exercícios - Ex. 181