Quantas diagonais tem um polígono regular de n lados?

Solução

O polígono tem n vértices: A1, A2, ldots, An. Cada segmento é determinado por um par não ordenado de dois vértices (A1 A2=A2 A1, por exemplo ).
O número total de segmentos determinados será então binomn2. Entre esses segmentos estão incluídos os lados e as diagonais. Como existem n lados, o número de diagonais será:
& binomn2-n=n!(n-2)!2-n=n(n-1)2-n=n^2-n-2 n2= & =n^2-3 n2=n cdot(n-3)2

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantas diagonais tem um polígono regular de n lados. O conteúdo aplicável é contagem de pares de vértices (combinatória) e subtração dos lados, pois cada diagonal liga dois vértices não adjacentes.

Passo 2

Um polígono de n lados tem n vértices e cada segmento entre dois vértices corresponde a um par não ordenado desses vértices. O número total de pares é
binomn2,

Passo 3

Desses binomn2 segmentos, exatamente n são os lados do polígono. Portanto, as diagonais são os segmentos restantes:
binomn2 ;-; n,

Passo 4

Basta simplificar a expressão:
binomn2 - n = n(n-1)2 - n = n(n-1)-2n2 = n^2-3n2 = n(n-3)2,

Resposta

n(n-3)2

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