No espaço existem 7 pontos, entre os quais não existem 4 pontos coplanares. Quantos planos eles determinam?

Passo 1

O enunciado diz que temos sete pontos no espaço e que nenhum conjunto de quatro pontos é coplanar. O conteúdo aqui é combinatória geométrica: usamos o fato de que um plano é determinado por três pontos não colineares e a condição de “nenhum quatro coplanares” garante que cada tripla de pontos define um plano distinto (ou seja, não há planos “repetidos” por conterem mais de três dos nossos pontos).

Passo 2

Por definição, três pontos não colineares determinam um plano único. Como não há quatro pontos coplanares, nenhum desses planos pode conter um quarto ponto da nossa lista. Logo não acontece de dois trios distintos de pontos gerarem o mesmo plano. Assim, cada escolha de três pontos dá um plano diferente.

Passo 3

O número total de maneiras de escolher três pontos dentre sete é dado por
binom73 = 7 cdot 6 cdot 53 cdot 2 cdot 1 = 35

Resposta

35 planos determinados.

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