(EsPCEx-17) Determine o valor numérico do polinômio p(x)=x^{4}+4 x^{3}+ 6 x^{2}+4 x+2017 para x=89.
a) 53213009 .
b) 57138236 .
c) 61342008 .
d) 65612016 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor numérico do polinômio
p(x)=x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+4x+2017
no ponto x=89. O conteúdo aqui é reconhecimento de uma expansão binomial e avaliação numérica de potências.

Passo 2

Observamos que a soma dos primeiros quatro termos de p(x) coincide com a expansão de (x+1)^{4}, pois
(x+1)^{4} = x^{4} + 4x^{3} + 6x^{2} + 4x + 1.
Logo podemos reescrever
p(x) = (x+1)^{4} + (2017 - 1) = (x+1)^{4} + 2016.

Passo 3

Agora basta avaliar em x=89:
p(89) = (89+1)^{4} + 2016 = 90^{4} + 2016.

Passo 4

Calculamos primeiro
90^{2} = 8100,
de modo que
90^{4} = (90^{2})^{2} = 8100^{2} = 65610000.

Passo 5

Finalmente, somamos o termo constante:
p(89) = 65610000 + 2016 = 65612016.

Resposta

d) 65612016

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