(EsPCEx-00) Sendo a, b e c, nesta ordem. termos de uma progressão aritmética em que a. c =24 e \mathrm{A}, \mathrm{B} e C , nesta ordem, termos de uma progressão geométrica em que \mathrm{A}=\mathrm{a}, \mathrm{B}=\mathrm{c} e \mathbf{C}=72, entào o valor de b é:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7

Passo 1

O enunciado nos diz que a,b,c são termos consecutivos de uma progressão aritmética (PA) e satisfazem a\cdot c=24. Além disso, A=a, B=c, C=72 são termos de uma progressão geométrica (PG). Precisamos achar b.

Passo 2

Em uma PA, o termo intermediário é a média aritmética dos vizinhos, logo
b = \frac{a + c}{2}.

Passo 3

Em uma PG, a razão é r = B/A = c/a e o terceiro termo é C = B\cdot r. Assim,
72 = C = c \cdot \frac{c}{a} = \frac{c^2}{a},
logo
c^2 = 72\,a.

Passo 4

Como a\cdot c = 24, temos a = \frac{24}{c}. Substituindo em c^2 = 72\,a:
c^2 = 72\cdot\frac{24}{c} \;\Longrightarrow\; c^3 = 1728 \;\Longrightarrow\; c = 12.

Passo 5

Com c = 12 segue a = \frac{24}{12} = 2. Logo
b = \frac{a + c}{2} = \frac{2 + 12}{2} = 7.

Resposta

7

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