Prove que para todo inteiro positivo n, [n3]+[n+26]+[n+46]=[n2]+[n+36].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a seguinte igualdade de pisos para todo inteiro positivo n:
lfloor n3rfloor +lfloor n+26rfloor +lfloor n+46rfloor = lfloor n2rfloor +lfloor n+36rfloor
O conteúdo é manipulação de piso (floor) e a ideia é usar a periodicidade módulo 6, já que todos os denominadores são divisores de 6.

Passo 2

Escrevemos
n = 6k + r, k=lfloorn6rfloor, rin0,1,2,3,4,5
Então cada termo se decompõe em parte dependente de k e parte dependente de r:
lfloor n3rfloor =2k + lfloor r3rfloor, lfloor n+26rfloor = k + lfloor r+26rfloor, lfloor n+46rfloor = k + lfloor r+46rfloor,
lfloor n2rfloor =3k + lfloor r2rfloor, lfloor n+36rfloor = k + lfloor r+36rfloor

Passo 3

Para cada valor de rin0,1,2,3,4,5 calculamos as partes em r e vemos que as duas expressões coincidem:
  • Se r=0 ou 1 então
    lfloor r/3rfloor=0,;lfloor(r+2)/6rfloor=0,;lfloor(r+4)/6rfloor=0,;lfloor r/2rfloor=0,;lfloor(r+3)/6rfloor=0
    Logo
    LHS=2k+0 + k+0 + k+0=4k, RHS=3k+0 + k+0=4k
  • Se r=2 então
    lfloor r/3rfloor=0,;lfloor(r+2)/6rfloor=0,;lfloor(r+4)/6rfloor=1,;lfloor r/2rfloor=1,;lfloor(r+3)/6rfloor=0
    Logo
    LHS=2k+0 + k+0 + k+1=4k+1, RHS=3k+1 + k+0=4k+1
  • Se r=3 então
    lfloor r/3rfloor=1,;lfloor(r+2)/6rfloor=0,;lfloor(r+4)/6rfloor=1,;lfloor r/2rfloor=1,;lfloor(r+3)/6rfloor=1
    Logo
    LHS=2k+1 + k+0 + k+1=4k+2, RHS=3k+1 + k+1=4k+2
  • Se r=4 ou 5 então
    lfloor r/3rfloor=1,;lfloor(r+2)/6rfloor=1,;lfloor(r+4)/6rfloor=1,;lfloor r/2rfloor=2 (se r=4) ou 2 (se r=5),;lfloor(r+3)/6rfloor=1
    Em ambos os casos
    LHS=2k+1 + k+1 + k+1=4k+3, RHS=3k+2 + k+1=4k+3
Em todas as seis possibilidades de r obtemos LHS = RHS.

Passo 4

Como os dois lados coincidem para n=6k+r em todo rin0,1,2,3,4,5, a igualdade vale para todo inteiro positivo n.

Resposta

A identidade está provada para todo inteiro positivo n.

Exercícios de Livros Relacionados