Prove que para todo inteiro positivo
,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a seguinte igualdade de pisos para todo inteiro positivo
:
O conteúdo é manipulação de piso (floor) e a ideia é usar a periodicidade módulo
, já que todos os denominadores são divisores de
.
Passo 2
Escrevemos
Então cada termo se decompõe em parte dependente de
e parte dependente de
:
Passo 3
Para cada valor de
calculamos as partes em
e vemos que as duas expressões coincidem:
-
Se
ou então
Logo -
Se
então
Logo -
Se
então
Logo -
Se
ou então
Em ambos os casos
Em todas as seis possibilidades de
obtemos LHS
RHS.
Passo 4
Como os dois lados coincidem para
em todo
, a igualdade vale para todo inteiro positivo
.
Resposta
A identidade está provada para todo inteiro positivo
.