Demonstrar o critério de Gauss:
em que
é limitado,
convergirá, se
, e divergirá se
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar o chamado critério de Gauss (ou Raabe–Duhamel) que diz o seguinte: se os termos de uma série positiva
satisfazem, para
grande,
onde
e
são constantes e os
são limitados, então
- a série converge se
, - e diverge se
.
Para provar isso, vamos (i) transformar essa relação em termos de logaritmos, (ii) somar de
até
para obter o comportamento assintótico de
, e (iii) aplicar a comparação com a série
.
Passo 2
Tomemos logaritmos na relação
Para
grande, como
é limitado e
, temos
onde também
é uma sequência limitada. Logo
Passo 3
Some essa igualdade de
até
:
O lado esquerdo telescopa e dá
Como
, segue
para alguma constante
.
Passo 4
Agora compare a série
com a série-p
:
- Se
, converge (teste da p-série), logo por comparação também converge. - Se
, diverge, e como , a série diverge do mesmo modo.
Resposta
O critério de Gauss fica assim demonstrado: sob a hipótese
com
a série
converge, e com
ela diverge.