Demonstrar o critério de Gauss:
|aa||aa+1|=1+mun+Ran^1+e
em que |Rn| é limitado, Sigma|anu| convergirá, se mu>1, e divergirá se mu <=q 1.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar o chamado critério de Gauss (ou Raabe–Duhamel) que diz o seguinte: se os termos de uma série positiva sum|an| satisfazem, para n grande,
|an||an+1| =1+mun+Rnn^1+e,
onde mu e e>0 são constantes e os Rn são limitados, então
  • a série converge se mu>1,
  • e diverge se mu<=1.
Para provar isso, vamos (i) transformar essa relação em termos de logaritmos, (ii) somar de 1 até n-1 para obter o comportamento assintótico de |an|, e (iii) aplicar a comparação com a série sum n^-mu.

Passo 2

Tomemos logaritmos na relação
|an||an+1| =1+mun+Rnn^1+e
Para n grande, como Rn é limitado e e>0, temos
loggl(1+mun+Rnn^1+egr) = mun + Snn^1+e,
onde também (Sn) é uma sequência limitada. Logo
log|an| - log|an+1| = mun + Snn^1+e

Passo 3

Some essa igualdade de k=1 até k=n-1:
sumk=1^n-1l(log|ak|-log|ak+1|r) = sumk=1^n-1muk + sumk=1^n-1Skk^1+e
O lado esquerdo telescopa e dá
log|a1| - log|an| = musumk=1^n-11k + O(1)
Como sumk=1^n-11k = ln n +gamma +o(1), segue
log|an| = log|a1| - muln n + O(1) Longrightarrow |an| = C,n^-mu,(1+o(1)),
para alguma constante C>0.

Passo 4

Agora compare a série sum|an| com a série-p sum n^-mu:
  • Se mu>1, sum n^-mu converge (teste da p-série), logo por comparação sum|an| também converge.
  • Se mu<=1, sum n^-mu diverge, e como |an|sim Cn^-mu, a série sum|an| diverge do mesmo modo.

Resposta

O critério de Gauss fica assim demonstrado: sob a hipótese
|an||an+1| =1+mun+Rnn^1+e,
com mu>1 a série sum|an| converge, e com mu<=1 ela diverge.

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