Calcular os seguintes limites:
lim x 0(sen xx)^1 / x^2

Passo 1

O enunciado pede
limxto0l(sin xxr)^1/x^2
Isso é um limite do tipo 1^infty. Vamos usar a técnica de tomar logaritmo e aplicar expansão em série de Taylor para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: quando xto0, temos
sin x/xto1 e 1/x^2to+infty,
portanto a expressão é do tipo 1^infty, o que justifica usar o logaritmo para transformar o problema num limite de forma inftycdot0 ou infty.

Passo 3

Definimos
L = limxto0l(sin xxr)^1/x^2
Tomando logaritmo, obtemos
ln L = limxto01x^2,ln!l(sin xxr)

Passo 4

Para x pequeno, a expansão de Taylor de sin x é
sin x = x - x^36 + o(x^3),
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sin xx = 1 - x^26 + o(x^2)
Usando ln(1+u)=u+o(u) com u=-tfracx^26+o(x^2), temos
ln!l(tfracsin xxr) = -x^26 + o(x^2)

Passo 5

Substituindo em ln L:
ln L = limxto01x^2l(-x^26+o(x^2)r) = -16
Portanto
L = e^-1/6

Resposta

e^-1/6

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