Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
f(x)=(3-x)(x+1)

Passo 1

O enunciado nos dá a função quadrática
f(x) = (3 - x)(x + 1)
e pede: raízes, vértice, interseções com os eixos, eixo de simetria, esboço do gráfico e conjunto imagem. Vamos usar teoria de funções do 2º grau: fatoração para as raízes, forma padrão para o vértice e orientação da parábola para o conjunto imagem.

Passo 2

Primeiro expandimos f(x) para obter a forma padrão ax^2 + bx + c.
f(x) = (3 - x)(x + 1) = 3x + 3 - x^2 - x = -x^2 + 2x + 3.

Passo 3

As raízes são as soluções de f(x)=0. Como já está fatorada em (3 - x)(x + 1), temos
3 - x = 0 \implies x = 3, \quad x + 1 = 0 \implies x = -1.
São as interseções com o eixo x: (-1,0) e (3,0).

Passo 4

A interseção com o eixo y ocorre em x=0. Calculamos
f(0) = (3 - 0)(0 + 1) = 3,
logo o ponto é (0,3).

Passo 5

Para achar o vértice usamos x_v = -\tfrac{b}{2a} na forma ax^2 + bx + c, onde a=-1 e b=2:
x_v = -\frac{2}{2\cdot(-1)} = 1.
Então
y_v = f(1) = -1^2 + 2\cdot1 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4.
O vértice é (1,4). O eixo de simetria é a reta x = 1.

Passo 6

Como a = -1 < 0, a parábola abre para baixo. Pontos-chave para esboço: raízes (-1,0) e (3,0), vértice (1,4) e interseção com y em (0,3). O gráfico é uma “campânula” virada para baixo, simétrica em torno de x=1.

Passo 7

Para parábola com a<0, o valor máximo é y_v=4 e não há mínimo ( y\to -\infty). Então o conjunto imagem é
\{\,y\mid -\infty < y \le 4\} = (-\infty,\,4].

Resposta

Raízes: (-1,0) e (3,0)
Interseção com eixo y: (0,3)
Vértice: (1,4)
Eixo de simetria: x=1
Gráfico: parábola voltada para baixo, usando os pontos acima
Conjunto imagem: (-\infty,\,4]

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