Estude as funções dadas abaixo, determinando raízes, vértice, pontos de intersecção com os eixos, eixo de simetria, gráfico e conjunto imagem:
f(x)=4-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede o estudo completo da função
f(x)=4 - x^2
que é uma parábola do segundo grau com coeficiente de x^2 negativo (abre para baixo). Precisamos encontrar
– raízes (interseções com o eixo x),
– vértice,
– interseção com o eixo y,
– eixo de simetria,
– esboço do gráfico,
– conjunto imagem (range).

Passo 2

Para achar as raízes, resolvemos
f(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 4 - x^2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2.
Logo, as interseções com o eixo x são os pontos (-2,0) e (2,0).

Passo 3

O vértice de uma parábola f(x)=ax^2+bx+c está em
x_v = -\frac{b}{2a}.
Aqui a=-1 e b=0, então
x_v = -\frac{0}{2\cdot(-1)} = 0,
e o valor de y no vértice é
y_v = f(0) = 4 - 0^2 = 4.
Portanto o vértice é (0,4). A interseção com o eixo y ocorre em x=0, que é também (0,4).

Passo 4

Como todo eixo de simetria de parábola vertical passa pelo x do vértice, aqui
\text{eixo de simetria: } x = 0.

Passo 5

Gráfico: é uma parábola com concavidade para baixo, vértice em (0,4) e cortando o eixo x em -2 e 2. O eixo de simetria é a reta vertical x=0, de modo que o ramo esquerdo espelha o direito.

Passo 6

O valor máximo de f(x) é 4 (no vértice) e, quando |x|\to\infty, f(x)\to -\infty. Logo o conjunto imagem é
\{\,y\in\mathbb{R}\mid y\le 4\} \quad\text{ou}\quad (-\infty,\,4].

Resposta

  • Raízes (interseção com eixo x): (-2,0) e (2,0).
  • Vértice: (0,4).
  • Interseção com eixo y: (0,4).
  • Eixo de simetria: x=0.
  • Gráfico: parábola de concavidade para baixo, vértice em (0,4), passa por (-2,0) e (2,0).
  • Conjunto imagem: (-\infty,\,4].

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