(a) O que é a excentricidade de uma seção cônica?
(b) O que você pode dizer sobre a excentricidade se a seção cônica for uma elipse? Uma hipérbole? Uma parábola?
(c) Escreva uma equação polar para uma seção cônica com excentricidade
e diretriz
. O que acontece se a diretriz for
?
(b) O que você pode dizer sobre a excentricidade se a seção cônica for uma elipse? Uma hipérbole? Uma parábola?
(c) Escreva uma equação polar para uma seção cônica com excentricidade
Passo 1
O enunciado pede:
(a) Definir a excentricidade de uma seção cônica.
(b) Caracterizar o valor de quando a seção é elipse, hipérbole ou parábola.
(c) Encontrar a equação em coordenadas polares de uma cônica de excentricidade com foco na origem e diretriz
, e ver o efeito de trocar a diretriz para
,
e
.
Conteúdo necessário: definição de excentricidade como razão de distâncias foco–diretriz e manipulação algébrica em coordenadas polares.
(a) Definir a excentricidade de uma seção cônica.
(b) Caracterizar o valor de
(c) Encontrar a equação em coordenadas polares de uma cônica de excentricidade
Conteúdo necessário: definição de excentricidade como razão de distâncias foco–diretriz e manipulação algébrica em coordenadas polares.
Passo 2
Definição de excentricidade. Seja um ponto genérico
na cônica, com distância ao foco
valendo
e distância à diretriz (reta fixa) valendo
. A excentricidade é
Por definição, todos os pontos
da cônica satisfazem essa razão constante
.
Passo 3
Classificação segundo
:
Para uma elipse, a razão é menor que 1, logo
Para uma parábola, a razão vale exatamente 1, logo
Para uma elipse, a razão
Para uma parábola, a razão vale exatamente 1, logo
Para uma hipérbole, a razão é maior que 1, logo
Passo 4
Equação polar com foco na origem e diretriz
.
Em polares um ponto tem
, e sua distância até a reta
é
. Impomos
Em polares um ponto
Supondo
e escolhendo o ramo
, isolamos
:
Passo 5
Efeitos das outras diretrizes:
Se a diretriz for , troca-se
por
, dando
Se a diretriz for
Se for
, troca-se
por
, dando
Se for
, troca-se por
, dando
Resposta
(a) A excentricidade é a razão constante
(b) Elipse:
. Parábola:
. Hipérbole:
.
(c) Com diretriz :
(c) Com diretriz
Para
:
.
Para :
.
Para :
.
Para
Para