(a) O que é a excentricidade de uma seção cônica?
(b) O que você pode dizer sobre a excentricidade se a seção cônica for uma elipse? Uma hipérbole? Uma parábola?
(c) Escreva uma equação polar para uma seção cônica com excentricidade e e diretriz x=d. O que acontece se a diretriz for x=-d ? y=d ? y=-d ?

Passo 1

O enunciado pede:
(a) Definir a excentricidade de uma seção cônica.
(b) Caracterizar o valor de e quando a seção é elipse, hipérbole ou parábola.
(c) Encontrar a equação em coordenadas polares de uma cônica de excentricidade e com foco na origem e diretriz x=d, e ver o efeito de trocar a diretriz para x=-d, y=d e y=-d.
Conteúdo necessário: definição de excentricidade como razão de distâncias foco–diretriz e manipulação algébrica em coordenadas polares.

Passo 2

Definição de excentricidade. Seja um ponto genérico P na cônica, com distância ao foco F valendo PF e distância à diretriz (reta fixa) valendo PD. A excentricidade é
e = \frac{PF}{PD}.
Por definição, todos os pontos P da cônica satisfazem essa razão constante e.

Passo 3

Classificação segundo e:
Para uma elipse, a razão PF/PD é menor que 1, logo e<1.
Para uma parábola, a razão vale exatamente 1, logo
e = 1.
Para uma hipérbole, a razão é maior que 1, logo e>1.

Passo 4

Equação polar com foco na origem e diretriz x=d.
Em polares um ponto P tem \bigl(r,\theta\bigr), e sua distância até a reta x=d é |d - r\cos\theta|. Impomos
\frac{r}{d - r\cos\theta} = e.
Supondo d>0 e escolhendo o ramo d - r\cos\theta>0, isolamos r:
r = \frac{e\,d}{1 + e\cos\theta}.

Passo 5

Efeitos das outras diretrizes:
Se a diretriz for x=-d, troca-se \cos\theta por -\cos\theta, dando
r = \frac{e\,d}{1 - e\cos\theta}.
Se for y=d, troca-se \cos\theta por \sin\theta, dando
r = \frac{e\,d}{1 + e\sin\theta}.
Se for y=-d, troca-se por -\sin\theta, dando
r = \frac{e\,d}{1 - e\sin\theta}.

Resposta

(a) A excentricidade é a razão constante
e = \frac{\text{distância ao foco}}{\text{distância à diretriz}}.ââà
(b) Elipse: e<1. Parábola: e=1. Hipérbole: e>1.
(c) Com diretriz x=d:
r = \frac{e\,d}{1 + e\cos\theta}.
Para x=-d: r = \frac{e\,d}{1 - e\cos\theta}.
Para y=d: r = \frac{e\,d}{1 + e\sin\theta}.
Para y=-d: r = \frac{e\,d}{1 - e\sin\theta}.

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