10 Dê um exemplo de números a, b e c tais que o gráfico de y=a x^{2}+b x+c tenha seu vértice no ponto (-4,7).

Passo 1

O enunciado pede números a,b,c tais que a parábola
y = a x^{2} + b x + c
tenha vértice em (-4,7).
Para resolver isso, usamos a teoria do vértice de uma parábola no formato ax^{2}+bx+c:
– a abscissa do vértice é
x_{v} = -\frac{b}{2a},
– a ordenada do vértice é
y_{v} = f(x_{v}) = a x_{v}^{2} + b x_{v} + c.

Passo 2

Impondo que x_{v} = -4, temos
-\frac{b}{2a} = -4
que leva a
b = 8a.

Passo 3

Agora impomos y_{v}=7. Calculamos
f(-4)=a(-4)^{2} + b(-4) + c = 16a - 4b + c.
Queremos 16a - 4b + c = 7. Substituindo b=8a:
16a - 4(8a) + c = 7 \quad\Longrightarrow\quad 16a - 32a + c = 7 \quad\Longrightarrow\quad -16a + c = 7 \quad\Longrightarrow\quad c = 7 + 16a.

Passo 4

Basta escolher um valor prático para a. Tomando, por exemplo, a=1, obtemos
b = 8\cdot1 = 8,
c = 7 + 16\cdot1 = 23.

Resposta

Um exemplo é
a=1,\quad b=8,\quad c=23.

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