Exemplo:
Obter a interseção da circunferência de centro C1(0,2) e raio r1=2 com a circunferência de centro C2(1,0) e raio r2=1.

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos de interseção de duas circunferências no plano: uma com centro C1(0,2) e raio r1=2 e outra com centro C2(1,0) e raio r2=1. O conteúdo envolvido é geometria analítica, em que vamos montar o sistema formado pelas equações das circunferências e resolvê-lo.

Passo 2

Escrevemos as equações das duas circunferências:
(x-0)^2 + (y-2)^2 = 2^2 = 4,
(x-1)^2 + (y-0)^2 = 1^2 = 1
Para eliminar os termos quadráticos e obter uma relação linear entre x e y, subtraímos a segunda equação da primeira.

Passo 3

Fazendo a subtração termo a termo:
l(x^2 + (y-2)^2r) - l((x-1)^2 + y^2r) = 4 - 1 = 3
Expandindo e simplificando:
x^2 + y^2 - 4y + 4 - l(x^2 - 2x +1 + y^2r) = 3 ;Longrightarrow; 2x - 4y + 3 = 3 ;Longrightarrow; 2x - 4y = 0
Logo,
x = 2y

Passo 4

Substituímos x=2y em, por exemplo, (x-1)^2 + y^2 = 1:
(2y - 1)^2 + y^2 = 1 ;Longrightarrow; 4y^2 - 4y + 1 + y^2 = 1 ;Longrightarrow; 5y^2 - 4y = 0 ;Longrightarrow; y(5y - 4) = 0
Dessa fatoração obtemos duas soluções para y:
y = 0 ou y = 45

Passo 5

Para cada valor de y achamos x = 2y:
  • Se y=0, então x = 2cdot0 = 0.
  • Se y=tfrac45, então x = 2cdottfrac45 = tfrac85.
Assim, os pontos de interseção são (0,0) e l(tfrac85,tfrac45r).

Resposta

(0,0) e l(tfrac85,tfrac45r)

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