Dê exemplos de outras aplicações da derivada.

Passo 1

O enunciado pede que a gente apresente outras aplicações da derivada além dos exemplos mais comuns. Para isso, é importante lembrar que a derivada modela taxas de variação instantâneas e também serve para encontrar extremos locais de funções. Essas propriedades são exploradas em diversas áreas de ciências, engenharias e ciências sociais.

Passo 2

Aqui vão alguns exemplos em diferentes contextos:
  • Cinemática
    Partindo de uma função de posição s(t) de um móvel, a velocidade instantânea é
    v(t) = s'(t) = \frac{ds}{dt},
    e a aceleração é
    a(t) = v'(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2s}{dt^2}.
  • Economia
    Se C(q) é o custo total para produzir q unidades, o custo marginal é
    MC(q) = C'(q) = \frac{dC}{dq}.
    De modo análogo, para a receita total R(q), a receita marginal é MR(q)=R'(q).
  • Biologia
    Em modelos de crescimento populacional, a população P(t) obedece à taxa de variação
    \frac{dP}{dt},
    que, por exemplo no modelo logístico, satisfaz
    \frac{dP}{dt} = k\,P\Bigl(1 - \frac{P}{K}\Bigr),
    onde k e K são constantes.
  • Engenharia de Projeto
    Para otimizar dimensões de uma viga ou de um componente, define-se uma função de custo ou de esforço F(x) e busca-se x que minimize F. Isso envolve resolver
    F'(x)=0
    e verificar mínimos via F''(x)>0.
  • Machine Learning
    Em aprendizagem de máquina, a função de perda L(\theta) depende de parâmetros \theta. O algoritmo de gradiente descendente usa o gradiente
    \nabla L(\theta)
    para ajustar \theta na direção que reduz L.

Resposta

  • Cinemática: velocidade e aceleração como derivadas de s(t).
  • Economia: custo e receita marginais MC(q)=C'(q), MR(q)=R'(q).
  • Biologia: taxa de crescimento populacional \tfrac{dP}{dt}, p.ex. modelo logístico.
  • Engenharia: otimização de projeto via F'(x)=0 e F''(x).
  • Machine Learning: gradiente \nabla L(\theta) para minimizar função de perda.

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