Usando o algoritmo de Briot-Ruffini, mostre que as seguintes divisões são exatas, isto é, o resto é nulo. Dê o quociente.
x^3-a^3 por x-a.

Passo 1

O enunciado pede para dividir o polinômio x^3-a^3 pelo binômio x - a usando o algoritmo de Briot–Ruffini (divisão sintética) e mostrar que o resto é zero. O objetivo é encontrar o quociente dessa divisão.

Passo 2

Como o divisor é x - a, o valor usado na divisão sintética é a. Escrevemos os coeficientes de x^3-a^3 em ordem decrescente de grau, lembrando que faltam os termos de grau 2 e 1, cujos coeficientes são zero:
[,1,;0,;0,;-a^3,]
Agora aplicamos Briot–Ruffini com o valor a:
  1. Abaixamos o primeiro coeficiente: 1.
  2. Multiplicamos por a: 1cdot a = a, e somamos ao próximo coeficiente: 0 + a = a
  3. Multiplicamos esse resultado por a: acdot a = a^2, e somamos ao próximo coeficiente: 0 + a^2 = a^2
  4. Multiplicamos esse resultado por a: a^2cdot a = a^3, e somamos ao último coeficiente: -a^3 + a^3 = 0
O resto da divisão é 0, confirmando que é exata, e os coeficientes do quociente são, na ordem,
1,;a,;a^2

Resposta

O quociente da divisão de x^3-a^3 por x - a é
x^2 + a,x + a^2

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