Exercício Resolvido 5.28 Um filantropo quer doar 10 ambulâncias à 5 instituições de caridade. Cada instituição receberá pelo menos uma ambulância. De quantas maneiras ele pode fazer essa distribuição?
Solução: Esse problema se reduz a encontrar as soluções inteiras e positivas de
, sendo que
representa o número de ambulâncias que i-ésima instituição de caridade receberá. Pelo teorema 5.26 temos
possíveis distribuições.
Passo 1
O enunciado pede o número de maneiras de distribuir
ambulâncias entre
instituições, de forma que cada instituição receba pelo menos uma. Isso é um problema clássico de contagem usando o princípio das “estrelas e barras” para soluções inteiras e positivas da equação
Passo 2
Modelamos cada
como o número de ambulâncias da
-ésima instituição. A condição “pelo menos uma” impõe
além de
Passo 3
Para aplicar estrelas e barras, faça a mudança de variáveis
de modo que
com
inteiros não negativos.
Passo 4
Pelo Teorema 5.26, o número de soluções inteiras não negativas de
é dado por
Passo 5
Basta agora calcular a combinação: