Exercício Resolvido 5.28 Um filantropo quer doar 10 ambulâncias à 5 instituições de caridade. Cada instituição receberá pelo menos uma ambulância. De quantas maneiras ele pode fazer essa distribuição?
Solução: Esse problema se reduz a encontrar as soluções inteiras e positivas de x1+x2+ x3+x4+x5=10, sendo que xi representa o número de ambulâncias que i-ésima instituição de caridade receberá. Pelo teorema 5.26 temos C(9,3) possíveis distribuições.

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de distribuir 10 ambulâncias entre 5 instituições, de forma que cada instituição receba pelo menos uma. Isso é um problema clássico de contagem usando o princípio das “estrelas e barras” para soluções inteiras e positivas da equação
x1+x2+x3+x4+x5=10

Passo 2

Modelamos cada xi como o número de ambulâncias da i-ésima instituição. A condição “pelo menos uma” impõe
xi>=1, i=1,2,3,4,5,
além de
x1+x2+x3+x4+x5=10

Passo 3

Para aplicar estrelas e barras, faça a mudança de variáveis
yi=xi-1>=0,
de modo que
y1+y2+y3+y4+y5=(x1+cdots+x5)-5=10-5=5,
com yi inteiros não negativos.

Passo 4

Pelo Teorema 5.26, o número de soluções inteiras não negativas de
y1+cdots+y5=5
é dado por
binom5+5-15-1=binom94

Passo 5

Basta agora calcular a combinação:
binom94=9!4!,5!=9cdot8cdot7cdot64cdot3cdot2cdot1=126

Resposta

binom94=126 maneiras.

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