Exercício Resolvido 5.14 Quantas palavras podemos formar com as letras a e b se permitimos à letra se repetir 3 vezes e à letra se repetir duas vezes?
Solução: Num primeiro estágio vamos distinguir todas as letras e assim vamos contar as palavras formadas pelas letras distinguindo as várias ocorrências das letras a e b. Nesse caso temos possibilidades. Observe agora que em cada uma dessas palavras, por exemplo podemos permutar as letras entre si sem alterar a palavra. Temos assim 3!2! permutações e logo contamos cada possibilidade com essa repetição, o que implica que o número de palavras distintas formadas por 3 letras a e 2 letras b é . Essas palavras são:
aaabb abbaa
aabab baaab
aabba baaba
abaab babaa
ababa bbaaa

Passo 1

O enunciado pede para contar quantas “palavras” de comprimento 5 podemos formar usando exatamente três letras a e duas letras b. O conteúdo aqui é permutação de multiconjunto, e vamos precisar da fórmula de permutações com repetição:
n!n1!,n2!,cdots,nk!,

Passo 2

Para entender por que essa fórmula funciona, distinguimos primeiro todas as letras, chamando-as de a1,a2,a3,b1,b2. Então teríamos todas as permutações de 5 objetos distintos, ou seja,
5! = 120
sequências diferentes.

Passo 3

Mas, como não distinguimos as três cópias de a entre si, nem as duas de b, cada arranjo contado em 5! aparece repetido 3! vezes pelas permutações dos a e 2! vezes pelas permutações dos b. Logo devemos dividir por 3!,2!.

Passo 4

Aplicando a fórmula de permutações com repetição, obtemos
5!3!,2! =1206cdot2 =12012 =10

Passo 5

Se quisermos listar todas as palavras distintas, elas são:
aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa, abbaa, baaab, baaba, babaa e bbaaa.

Resposta

10 palavras distintas.

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