Exercício Resolvido 5.14 Quantas palavras podemos formar com as letras a e b se permitimos à letra
se repetir 3 vezes e à letra
se repetir duas vezes?
Solução: Num primeiro estágio vamos distinguir todas as letras e assim vamos contar as palavras formadas pelas letras
distinguindo as várias ocorrências das letras a e b. Nesse caso temos
possibilidades. Observe agora que em cada uma dessas palavras, por exemplo
podemos permutar as letras
entre si sem alterar a palavra. Temos assim 3!2!
permutações e logo contamos cada possibilidade com essa repetição, o que implica que o número de palavras distintas formadas por 3 letras a e 2 letras b é
. Essas palavras são:
aaabb
abbaa
aabab
baaab
aabba
baaba
abaab
babaa
ababa
bbaaa
aaabb | abbaa |
aabab | baaab |
aabba | baaba |
abaab | babaa |
ababa | bbaaa |
Passo 1
O enunciado pede para contar quantas “palavras” de comprimento 5 podemos formar usando exatamente três letras
e duas letras
. O conteúdo aqui é permutação de multiconjunto, e vamos precisar da fórmula de permutações com repetição:
Passo 2
Para entender por que essa fórmula funciona, distinguimos primeiro todas as letras, chamando-as de
. Então teríamos todas as permutações de 5 objetos distintos, ou seja,
sequências diferentes.
Passo 3
Mas, como não distinguimos as três cópias de
entre si, nem as duas de
, cada arranjo contado em
aparece repetido
vezes pelas permutações dos
e
vezes pelas permutações dos
. Logo devemos dividir por
.
Passo 4
Aplicando a fórmula de permutações com repetição, obtemos
Passo 5
Se quisermos listar todas as palavras distintas, elas são:
aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa, abbaa, baaab, baaba, babaa e bbaaa.
aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa, abbaa, baaab, baaba, babaa e bbaaa.