Nos Exercícios 11 a 16, calcular os momentos de inércia
e
de uma placa delgada
no plano XOY, limitada por uma ou mais curvas definidas pelas equações dadas. Em cada exercício
representa a densidade num ponto arbitrário
de
.
.
Passo 1
O enunciado pede os momentos de inércia
de uma placa de densidade uniforme
, limitada por
Aqui
. Vamos usar mudanças de variável para simplificar a região e depois coordenadas polares.
Passo 2
Fazemos a translação
então
e o Jacobiano é
. A região vira
um quarto de disco de raio
. Em
temos
Passo 3
Para
passamos para coordenadas polares em
:
com
. Logo
Expandindo e integrando em
:
Então
Integramos em
, usando
e
:
Passo 4
Por simetria em
e
, o cálculo de
é idêntico, com
trocado por
, mas satisfaz
e
, dando o mesmo resultado: