Nos Exercícios 11 a 16, calcular os momentos de inércia Ix e Iy de uma placa delgada S no plano XOY, limitada por uma ou mais curvas definidas pelas equações dadas. Em cada exercício f(x, y) representa a densidade num ponto arbitrário (x, y) de S.
(x-r)^2+(y-r)^2=r^2, x=0, y=0, 0 <= x <= r, 0 <= y <= r ; f(x, y)=1.

Passo 1

O enunciado pede os momentos de inércia
Ix=integral duplaS y^2,dA, Iy=integral duplaS x^2,dA
de uma placa de densidade uniforme f(x,y)=1, limitada por
(x-r)^2+(y-r)^2=r^2, x=0, y=0, 0<= x<= r, 0<= y<= r
Aqui S=(x,y)mid x>=0,y>=0,(x-r)^2+(y-r)^2<= r^2. Vamos usar mudanças de variável para simplificar a região e depois coordenadas polares.

Passo 2

Fazemos a translação
u=r-x, v=r-y,
então
x=r-u, y=r-v,
e o Jacobiano é 1. A região vira
S'=(u,v)mid u>=0,;v>=0,;u^2+v^2<= r^2,
um quarto de disco de raio r. Em S' temos
Ix=integral duplaS'(r-v)^2,du,dv, Iy=integral duplaS'(r-u)^2,du,dv

Passo 3

Para Ix passamos para coordenadas polares em (u,v):
u=rhocostheta,; v=rhosintheta,; 0<=rho<= r,; 0<=theta<=tfracpi2,
com du,dv=rho,drho,dtheta. Logo
Ix =integraltheta=0^pi/2integralrho=0^r (r-rhosintheta)^2,rho,drho,dtheta
Expandindo e integrando em rho:
(r-rhosintheta)^2,rho = r^2rho -2rrho^2sintheta +rho^3sin^2theta,
integral0^r r^2rho,drho=tfracr^42, integral0^r rho^2,drho=tfracr^33, integral0^r rho^3,drho=tfracr^44
Então
integral0^r (r-rhosintheta)^2rho,drho =r^4l(tfrac12-tfrac23sintheta+tfrac14sin^2thetar)
Integramos em theta, usando
integral0^pi/2sintheta,dtheta=1 e integral0^pi/2sin^2theta,dtheta=tfracpi4:
Ix =r^4l[tfrac12cdottfracpi2-tfrac23cdot1+tfrac14cdottfracpi4r] =r^4l(tfrac5pi16-tfrac23r) =15pi-3248,r^4

Passo 4

Por simetria em u e v, o cálculo de
Iy=integral duplaS'(r-u)^2,du,dv
é idêntico, com sintheta trocado por costheta, mas satisfaz
integral0^pi/2costheta,dtheta=1 e
integral0^pi/2cos^2theta,dtheta=tfracpi4, dando o mesmo resultado:
Iy=15pi-3248,r^4

Resposta

Ix = Iy = 15pi-3248,r^4

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