Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
y=-raiz2 x / 3.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = -raiz2x3
e pede:
– o domínio de f;
– o esboço do gráfico de f;
– a função inversa f^-1 e seu domínio.
Conteúdos usados: domínio de funções envolvendo raiz quadrada, transformações de gráfico e resolução algébrica para inversão.

Passo 2

Para existir raiz2x precisamos de
2x >= 0 Longrightarrow x >= 0
Logo o domínio de f é
Dom,f = [0,infty)

Passo 3

Vamos achar a imagem (range) de f. Em x=0 temos
f(0) = -raiz2cdot03 = 0,
e, à medida que xtoinfty, raiz2xtoinfty e, portanto,
f(x) = -raiz2x3 ;longrightarrow; -infty
Como f é contínua e estritamente decrescente em [0,infty), a imagem é
Im,f = (-infty,0]

Passo 4

Esboço do gráfico de f:
  • Parte– raiz tradicional raizx tem domínio [0,infty) e é crescente.
  • Em raiz2x aplicamos compressão horizontal de fator 12.
  • Multiplicando por -tfrac13 obtemos reflexão no eixo x e compressão vertical de fator 13.
    O resultado é uma curva que parte de (0,0) e desce lentamente para valores cada vez mais negativos conforme x cresce.

Passo 5

Para achar f^-1 trocamos x por y e invertamos:
y = -raiz2x3 ;Longrightarrow; -!3y = raiz2x ;Longrightarrow; (-3y)^2 = 2x ;Longrightarrow; x = 9,y^22
Assim, a inversa é
f^-1(y) = 92,y^2
O domínio de f^-1 é a imagem de f, ou seja
Dom,f^-1 = (-infty,0]

Resposta

Domínio de f: [0,infty).
Gráfico de f: curva decrescente saindo de (0,0) e tendendo a -infty conforme xtoinfty.
Função inversa:
f^-1(x) = 92,x^2,
com domínio (-infty,0].

Exercícios de Livros Relacionados