Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
y=b-raiz2(x-a).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=b-raiz2(x-a),
com a e b constantes, e pede:
– o domínio de f,
– um esboço do gráfico de f,
– a função inversa f^-1 e seu domínio.

Passo 2

Para que a raiz quadrada esteja bem definida, precisamos de
2(x-a)>= 0
isto é,
x-a>= 0Longrightarrow x>= a
Logo o domínio de f é
Dom(f)=[a,infty)

Passo 3

O gráfico de f é a “metade” de uma raiz quadrada refletida verticalmente e deslocada. Em detalhe:
– em x=a temos
f(a)=b-raiz2,(a-a)=b;
– à medida que x cresce, raiz2(x-a) cresce e f(x)=b-raiz2(x-a) decresce, com concavidade para cima.
Assim, o gráfico parte do ponto (a,b) e desce suavemente em forma de ramo de raiz.

Passo 4

Para achar a inversa, escrevemos y=f(x) e isolamos x:
y=b-raiz2(x-a) Longrightarrow b-y=raiz2(x-a)
Como o lado direito é não-negativo, impomos b-y>=0 (isto definirá o domínio da inversa). Elevando ao quadrado:
(b-y)^2=2(x-a) Longrightarrow x=a+(b-y)^22
Portanto a inversa, como função de y, é
f^-1(y)=a+(b-y)^22

Passo 5

O domínio de f^-1 é o conjunto de valores de y para os quais b-y>=0, ou seja
Dom(f^-1)=(-infty,b]
Além disso o contradomínio de f^-1 coincide com o domínio de f, que é [a,infty).

Resposta

Domínio de f: [a,infty).
Gráfico de f: ramo de raiz quadrada invertido em y, saindo de (a,b) e decrescendo.
Função inversa:
f^-1(x)=a+(b-x)^22,
com domínio (-infty,b] e imagem [a,infty).

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