Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
y=raiz-x.

Passo 1

O enunciado pede, para a função
y = raiz-x,
que a gente determine (i) o domínio de f, (ii) o gráfico de f, (iii) a função inversa f^-1 e (iv) o domínio de f^-1.
O conteúdo principal aqui é a definição de raiz quadrada, que exige o radicando não-negativo, e o processo de inversão de função por troca de x e y.

Passo 2

Para achar o domínio de f usamos a condição
-x >= 0
pois o radical exige argumento não-negativo. Daí
x <= 0
Logo
Dom(f) = (-infty,0]
A imagem (range) de f é [0,infty) já que raiz-x é sempre não-negativo.
O gráfico de f é a “meia-curva” que começa em (0,0) e vai para a esquerda, decrescendo e sendo côncava para baixo, exatamente o espelho de y=raizx refletido no eixo y.

Passo 3

Para obter f^-1 trocamos x e y:
x = raiz-y
Como o lado direito é não-negativo, já inferimos que o domínio de f^-1 será
x >= 0,
isto é, [0,infty). Agora elevamos ao quadrado:
x^2 = -y Longrightarrow y = -x^2
Portanto
f^-1(x) = -x^2,
com
Dom(f^-1) = [0,infty) e Im(f^-1) = (-infty,0]
O gráfico de f^-1 é o ramo da parábola y=-x^2 restrito a x>=0, que corresponde à reflexão do gráfico de f na reta y=x.

Resposta

Domínio de f: (-infty,0]
Gráfico de f: semi-curva de raiz-x iniciando em (0,0) e decrescendo côncava para a esquerda.
Função inversa:
f^-1(x) = -x^2
Domínio de f^-1: [0,infty)
Gráfico de f^-1: ramo da parábola y=-x^2 para x>=0.

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