Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas: o domínio de
, o gráfico de
e a função inversa
com seu domínio. O conteúdo envolve domínio de radicais, identificação de imagem (ou “range”) e troca de variáveis para achar a inversa.
Passo 2
Para achar o domínio de
precisamos que o radicando seja não negativo:
Logo
Portanto o domínio é
Passo 3
A partir de
vemos que a raiz quadrada produz sempre valores não negativos, isto é
Assim a imagem (range) de
é
Passo 4
Para obter a inversa, trocamos
e
:
Em seguida elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
Portanto
Passo 5
O domínio de
é a imagem de
, ou seja
E a imagem de
volta a ser o domínio de
, isto é
.
Passo 6
Gráfico de
: é o ramo de raiz quadrada “virado” para a esquerda, começando em
e subindo suavemente à medida que
diminui. Para
temos
, e à medida que
cresce sem limite.
Passo 7
Gráfico de
com
: é o ramo direito (não negativo) da parábola voltada para baixo, com vértice em
, decrescendo para
à medida que
aumenta.
Resposta
Domínio de
:
Gráfico de : ramo de raiz quadrada invertido à esquerda, vértice em
, estendendo-se para
e
.
Inversa:
Gráfico de
Inversa:
com domínio
.