Nos Exercícios 27 a 41, determine os domínios das funções dadas, faça os gráficos dessas funções, e encontre as funções inversas correspondentes com seus respectivos domínios.
y=raiz2-x.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = raiz2 - x
e pede três coisas: o domínio de f, o gráfico de f e a função inversa f^-1 com seu domínio. O conteúdo envolve domínio de radicais, identificação de imagem (ou “range”) e troca de variáveis para achar a inversa.

Passo 2

Para achar o domínio de
f(x)=raiz2 - x
precisamos que o radicando seja não negativo:
2 - x >= 0
Logo
x <= 2
Portanto o domínio é
Df = (-infty,,2]

Passo 3

A partir de y=raiz2 - x vemos que a raiz quadrada produz sempre valores não negativos, isto é
y >= 0
Assim a imagem (range) de f é
Im(f) = [0,infty)

Passo 4

Para obter a inversa, trocamos x e y:
x = raiz2 - y
Em seguida elevamos ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 = 2 - y Longrightarrow y = 2 - x^2
Portanto
f^-1(x) = 2 - x^2

Passo 5

O domínio de f^-1 é a imagem de f, ou seja
Df^-1 = [0,infty)
E a imagem de f^-1 volta a ser o domínio de f, isto é (-infty,2].

Passo 6

Gráfico de f(x)=raiz2 - x: é o ramo de raiz quadrada “virado” para a esquerda, começando em (2,0) e subindo suavemente à medida que x diminui. Para x=2 temos y=0, e à medida que xto -infty cresce sem limite.

Passo 7

Gráfico de f^-1(x)=2 - x^2 com x>=0: é o ramo direito (não negativo) da parábola voltada para baixo, com vértice em (0,2), decrescendo para -infty à medida que x aumenta.

Resposta

Domínio de f: (-infty,,2]
Gráfico de f: ramo de raiz quadrada invertido à esquerda, vértice em (2,0), estendendo-se para xto-infty e yto+infty.
Inversa:
f^-1(x) = 2 - x^2,
com domínio [0,infty).

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