Nos Exercs. 13 a 18, reduza os números z1 e z2 à forma polar e determine as formas polares de z1 z2 e z1 / z2. Represente esses quatro números num gráfico.
z1=raiz3+3 i, z2=3-i raiz32.

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos
e pede:
– reduzir cada um à forma polar ,
– obter as formas polares de e de ,
– representar esses quatro pontos no plano de Argand.
Para isso vamos usar:
  1. e .
  2. Em forma polar, .
  3. .
  4. .

Passo 2

Calcular a forma polar de .
O módulo é
O argumento é
Logo

Passo 3

Calcular a forma polar de .
Escrevendo , temos
Assim

Passo 4

Calcular z1z2 em forma polar:
r12=r1r2 =2raiz3timesraiz3 =2cdot3 =6,
theta12=theta1+theta2 =tfracpi3 + l(-tfracpi6r) =tfracpi6
Logo
z1z2 =6l(costfracpi6 + isintfracpi6r)

Passo 5

Calcular z1z2 em forma polar:
rq=r1r2 =2raiz3raiz3 =2,
thetaq=theta1-theta2 =tfracpi3 - l(-tfracpi6r) =tfracpi3 + tfracpi6 =tfracpi2
Portanto
z1z2 =2l(costfracpi2 + isintfracpi2r) =2,i

Passo 6

Coordenadas cartesianas e instruções para o gráfico:
  • z1 em l(raiz3,,3r), raio 2raiz3, ângulo pi/3.
  • z2 em l(tfrac32,,-tfracraiz32r), raio raiz3, ângulo -pi/6.
  • z1z2 em l(6costfracpi6,,6sintfracpi6r)=(3raiz3,,3), raio 6, ângulo pi/6.
  • tfracz1z2=2i em (0,2), raio 2, ângulo pi/2.
    No plano de Argand, marque esses quatro pontos com seus respectivos vetores a partir da origem, verificando os comprimentos e ângulos indicados.

Resposta

z1=2raiz3,l(costfracpi3+isintfracpi3r), z2=raiz3,l(cos(-tfracpi6)+isin(-tfracpi6)r),
z1z2=6,l(costfracpi6+isintfracpi6r), z1z2=2,l(costfracpi2+isintfracpi2r)
E seus pontos no plano:
l(raiz3,3r), l(tfrac32,-tfracraiz32r), (3raiz3,3) e (0,2).

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