(UF-PE) Deseja-se projetar uma luminária em forma poliédrica. A condição exigida é que ela, pendurada por um dos vértices, fique com uma das diagonais desse vértice em posição vertical. Os seguintes poliedros podem ser usados:
0-0) O hexaedro regular.
1-1) O octaedro regular.
2-2) O dodecaedro regular.
3-3) O icosaedro regular.
4-4) Um prisma regular com qualquer número de lados na base.

Passo 1

O enunciado pede que, ao pendurar o sólido por um vértice, a linha de suspensão (que passa pelo vértice de apoio e pelo centro de massa) coincida com um segmento que liga esse vértice a outro vértice – isto é, uma “diagonal” de vértice a vértice. Para isso o centro de massa (que, em poliedros regulares de densidade uniforme, coincide com o centro geométrico) deve ficar no meio desse segmento que liga dois vértices. Em outras palavras, o poliedro precisa ser centralmente simétrico em torno do seu centro.

Passo 2

Explicando centralidade: um sólido é centralmente simétrico se, para cada vértice V, existe um vértice V' tal que o centro O do sólido seja o ponto médio de VV'. Só nesses sólidos a suspensão por V faz OV (e portanto o segmento VV') ficar vertical.

Passo 3

Entre os sólidos de Platão, quais são centralmente simétricos?
  • O hexaedro regular (cubo) tem inversão de centro que manda cada vértice em seu oposto.
  • O octaedro regular também é centralmente simétrico (é o dual do cubo).
  • O dodecaedro e o icosaedro não são centralmente simétricos e, portanto, não têm pares de vértices antipodais.

Passo 4

E quanto ao prisma regular de base com n lados?
O prisma é centralmente simétrico se e somente se sua base é um polígono centralmente simétrico – isto exige n par.
Logo, um prisma de base com número ímpar de lados não satisfaz a condição, mas, se n for par, cada vértice da base tem um vértice oposto na base paralela e o centro fica no meio dessa “diagonal”.

Resposta

Podem ser usados com garantia de alinhamento de uma diagonal vertical:
0- 0) O hexaedro regular.
1- 1) O octaedro regular.
Quanto ao item 4- 4 (prisma regular), isso só vale quando a base tiver número par de lados; para bases ímpares, não há vértices antipodais e a condição falha.

Exercícios de Livros Relacionados