(UF-ES) Existem, nas cidades brasileiras, 18 milhões de pessoas sem abastecimento público de água potável, 93 milhões sem redes de esgotos sanitários e 14 milhões sem coleta de lixo. Admita que 103 milhões dessas pessoas carecem de pelo menos um des-
ses serviços públicos básicos e que 6 milhões não usufruem de nenhum desses serviços. O número de pessoas, em milhões, que usufruem exatamente um desses serviços é:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16

Passo 1

O enunciado informa que 18 milhões não têm abastecimento de água, 93 milhões não têm rede de esgoto e 14 milhões não têm coleta de lixo; 103 milhões carecem de pelo menos um desses serviços e 6 milhões não usufruem de nenhum. Pede-se o número de milhões que usufruem exatamente de um serviço. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos e princípio da inclusão–exclusão.

Passo 2

Seja U o total de pessoas e definamos os conjuntos de pessoas que usufruem de cada serviço: A = quem tem água, B = quem tem esgoto, C = quem tem coleta de lixo. Como 18 milhões não têm água, temos
lvert Arvert = U - 18,
e de modo análogo
lvert Brvert = U - 93, lvert Crvert = U - 14

Passo 3

Denotemos
N0 = quem não usufrui de nenhum serviço, N1 = quem usufrui exatamente de um, N2 = quem usufrui exatamente de dois, N3 = quem usufrui dos três ãçê
Então
N0 = 6,
e como 103 milhões carecem de pelo menos um serviço (isto é, não usufruem dos três),
U - N3 = 103 Longrightarrow N3 = U - 103
Além disso, quem usufrui de pelo menos um serviço é
N1 + N2 + N3 = U - N0 = U - 6

Passo 4

Pela soma das cardinalidades temos
lvert Arvert + lvert Brvert + lvert Crvert = N1 + 2N2 + 3N3
Por outro lado,
lvert Arvert + lvert Brvert + lvert Crvert = (U-18)+(U-93)+(U-14) = 3U - 125
Logo
N1 + 2N2 + 3N3 = 3U - 125
Substituindo N3 = U-103 obtém-se
N1 + 2N2 = 184
E da relação
N1+N2+N3 = U-6 com N3 = U-103
vem
N1 + N2 = 97

Passo 5

Resolvendo o sistema
N1 + 2N2 = 184, N1 + N2 = 97,
subtraindo a segunda equação da primeira dá
N2 = 184 - 97 = 87,
e então
N1 = 97 - 87 = 10

Resposta

10

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