(UF-ES) Existem, nas cidades brasileiras, 18 milhões de pessoas sem abastecimento público de água potável, 93 milhões sem redes de esgotos sanitários e 14 milhões sem coleta de lixo. Admita que 103 milhões dessas pessoas carecem de pelo menos um des-
ses serviços públicos básicos e que 6 milhões não usufruem de nenhum desses serviços. O número de pessoas, em milhões, que usufruem exatamente um desses serviços é:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
ses serviços públicos básicos e que 6 milhões não usufruem de nenhum desses serviços. O número de pessoas, em milhões, que usufruem exatamente um desses serviços é:
a) 8
b) 10
c) 12
d) 14
e) 16
Passo 1
O enunciado informa que
milhões não têm abastecimento de água,
milhões não têm rede de esgoto e
milhões não têm coleta de lixo;
milhões carecem de pelo menos um desses serviços e
milhões não usufruem de nenhum. Pede-se o número de milhões que usufruem exatamente de um serviço. O conteúdo aqui é teoria de conjuntos e princípio da inclusão–exclusão.
Passo 2
Seja
o total de pessoas e definamos os conjuntos de pessoas que usufruem de cada serviço:
quem tem água,
quem tem esgoto,
quem tem coleta de lixo. Como
milhões não têm água, temos
e de modo análogo
Passo 3
Denotemos
Então
e como
milhões carecem de pelo menos um serviço (isto é, não usufruem dos três),
Além disso, quem usufrui de pelo menos um serviço é
Passo 4
Pela soma das cardinalidades temos
Por outro lado,
Logo
Substituindo
obtém-se
E da relação
vem
Passo 5
Resolvendo o sistema
subtraindo a segunda equação da primeira dá
e então