Existem duas frações ordinárias de denominadores 7 e 11, com numeradores positivos, cuja soma seja 3077 ? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado pede para achar frações a7 e b11 com a e b números inteiros positivos tais que
a7 + b11 = 3077
O conteúdo que vamos usar é a resolução de uma equação diofantina linear em a e b.

Passo 2

Começamos multiplicando a igualdade por 77 para eliminar os denominadores:
77gl(a7+b11gr)=77cdot3077 Longrightarrow 11a+7b=30

Passo 3

Como gcd(11,7)=1 e 1 divide 30, sabemos que existem soluções inteiras. Para encontrar uma solução particular, experimentamos valores inteiros de a:
  • Se a=4, então 11cdot4+7b=44+7b=30 leva a 7b=-14 e b=-2.
    Portanto, uma solução particular é
a0=4, b0=-2

Passo 4

A forma geral das soluções de 11a+7b=30 é
a = a0 + 7t = 4 + 7t, b = b0 - 11t = -2 - 11t,
onde t é um número inteiro.

Passo 5

Impondo a>0 e b>0:
a>0 implies 4+7t>0 implies t>=0,
b>0 implies -2-11t>0 implies -11t>2 implies t<= -1
Não existe inteiro t que satisfaça simultaneamente t>=0 e t<= -1. Logo não há solução com a e b ambos positivos.

Resposta

Não existem tais frações.

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