Existem duas frações ordinárias de denominadores 7 e 11, com numeradores positivos, cuja soma seja
? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado pede para achar frações
e
com
e
números inteiros positivos tais que
O conteúdo que vamos usar é a resolução de uma equação diofantina linear em
e
.
Passo 2
Começamos multiplicando a igualdade por
para eliminar os denominadores:
Passo 3
Como
e
divide
, sabemos que existem soluções inteiras. Para encontrar uma solução particular, experimentamos valores inteiros de
:
- Se
, então leva a e .
Portanto, uma solução particular é
Passo 4
A forma geral das soluções de
é
onde
é um número inteiro.
Passo 5
Impondo
e
:
Não existe inteiro
que satisfaça simultaneamente
e
. Logo não há solução com
e
ambos positivos.
Resposta
Não existem tais frações.