Se (\\mathrm{n}>1\\\ ) é um inteiro, prove que:
1n+1+1n+2+ldots+12 n>12)

Passo 1

O enunciado diz que dado um inteiro n>1, devemos provar que
1n+1 + 1n+2 + cdots + 12n > 12
O conteúdo envolvido é análise de desigualdades aplicadas a séries harmônicas.

Passo 2

Para cada k com 1 <= k <= n, temos
n + k ;<=; 2n,
então
1n + k ;>=; 12n
Além disso, quando k<n, n+k<2n e aí de fato
tfrac1n+k>tfrac12n.

Passo 3

Como há exatamente n termos na soma
sumk=1^n1n+k, podemos estimar
sumk=1^n1n+k ;=;sumk=1^n-11n+k ;+;12n ;>;(n-1),12n ;+;12n ;=;n2n ;=;12

Resposta

1n+1 + 1n+2 + cdots + 12n ;>;12

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