Sejam a=mn e b=rs números racionais, (a<b\\
). Se (p, q \\in \\mathbb{N}^{*}\\n), prove que:

Passo 1

Temos dois números racionais
a = mn e b = rs
com a<b e p,qinN^*. Queremos mostrar que
a < mp + rqnp + sq < b
Usaremos multiplicação cruzada de desigualdades.

Passo 2

Da desigualdade a<b segue
mn < rs
Multiplicando cruzado por n s>0, obtemos
m,s < n,r
Esse fato será usado nas próximas verificações.

Passo 3

Provar a < mp + rqnp + sq. Partimos de
mn < mp + rqnp + sq
Multiplicando cruzado por n,(np+sq)>0:
m,(np+sq) < n,(mp+rq)
Expandindo e cancelando m n p:
m,s,q < n,r,q
Como q>0 e m s < n r, concluímos
a < mp + rqnp + sq

Passo 4

Provar mp + rqnp + sq < b. Partimos de
mp + rqnp + sq < rs
Multiplicando cruzado por s,(np+sq)>0:
(mp+rq),s < r,(np+sq)
Expandindo e cancelando r q s:
m,p,s < n,p,r
Como p>0 e m s < n r, obtemos
mp + rqnp + sq < b

Resposta

a < mp + rqnp + sq < b

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