Mostre que as seguintes somas não são números inteiros:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro
, a soma
não é um número inteiro.
Conteúdo: representação de soma de frações como única fração e uso de um argumento de divisibilidade baseado no Postulado de Bertrand.
Conteúdo: representação de soma de frações como única fração e uso de um argumento de divisibilidade baseado no Postulado de Bertrand.
Passo 2
Vamos escrever
sobre um denominador comum. Defina
Então
onde
é um inteiro.
Passo 3
Pelo Postulado de Bertrand existe um primo
tal que
Esse primo
é ímpar, logo aparece exatamente uma vez no produto
. Mais precisamente, existe um único índice
com
, e para todo
temos
.
Passo 4
Como
divide exatamente um dos fatores de
, temos
.
- Para
, ainda contém o fator , isto é, . - Para
, não é divisível por , então .
Logo
para algum inteiro
, e
.
Passo 5
Concluímos que
mas
. Assim, na fração irredutível
o primo
permanece no denominador. Portanto
não pode ser inteiro, pois seu denominador em forma reduzida ainda tem o fator
.
Resposta
Para todo
, a soma
não é um número inteiro.