Mostre que as seguintes somas não são números inteiros:
S2=13+15+ldots+12 n+1(n>0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro n>0, a soma
S2=13+15+cdots+12n+1
não é um número inteiro.
Conteúdo: representação de soma de frações como única fração e uso de um argumento de divisibilidade baseado no Postulado de Bertrand.

Passo 2

Vamos escrever S2 sobre um denominador comum. Defina
D = prodk=1^n(2k+1)
Então
S2 = sumk=1^n12k+1 = 1Dsumk=1^nD2k+1 ;=;AD,
onde
A = sumk=1^nD2k+1
é um inteiro.

Passo 3

Pelo Postulado de Bertrand existe um primo p tal que
n+1 < p <= 2n+1
Esse primo p é ímpar, logo aparece exatamente uma vez no produto D. Mais precisamente, existe um único índice k com 2k+1=p, e para todo jneq k temos pnmid (2j+1).

Passo 4

Como p divide exatamente um dos fatores de D, temos vp(D)=1.
  • Para jneq k, D2j+1 ainda contém o fator p, isto é, vpl(D/(2j+1)r)>=1.
  • Para j=k, D2k+1=Dp não é divisível por p, então vp(D/p)=0.
Logo
A ;=;sumj=1^nD2j+1 ;=;Dp;+;pcdot M
para algum inteiro M, e vp(A)=0.

Passo 5

Concluímos que vp(D)=1 mas vp(A)=0. Assim, na fração irredutível A/D o primo p permanece no denominador. Portanto
S2=AD
não pode ser inteiro, pois seu denominador em forma reduzida ainda tem o fator p>1.

Resposta

Para todo n>0, a soma
S2=13+15+cdots+12n+1
não é um número inteiro.

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